第四章作业题解4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知,X Y 的概率分布如下表所示:如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？解： 11.032.023.014.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E9.0032.025.013.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。

4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ).解：X 的可能取值为3,4,5.因为1.01011)3(35====C X P ；3.0103)4(3523====C C X P ；6.0106)5(3524====C C X P所以 5.46.053.041.03)(=⨯+⨯+⨯=X E4.3 设随机变量X 的概率分布1{}(0,1,2,),(1)kk a P X k k a +===+其中0a >是个常数，求()E X解: 112111()(1)(1)(1)k k k k k k a aa E X kk a a a -∞∞+-====+++∑∑，下面求幂级数11k k kx ∞-=∑的和函数，易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有12111()(),1,1(1)k k k k x kxx x x x ∞∞-==''===<--∑∑根据已知条件，0a >，因此011aa<<+，所以有 221()(1)(1)1a E X a a a a==+-+.4.4 某人每次射击命中目标的概率为p , 现连续向目标射击, 直到第一次命中目标为止, 求射击次数的期望.解：因为X 的可能取值为1,2,……。

依题意，知X 的分布律为1(),1,1,2,k P X k q p q p k -===-=所以)1()()()(1111'-='='==∑∑∑∞=∞=∞=-qq p q p q p p kqX E k k k kk k p p p q p11)1(122=⋅=-=4.5 在射击比赛中, 每人射击4 次, 每次一发子弹. 规定4弹全未中得0分, 只中1弹得15分, 中2弹得30 分, 中3弹得55分, 中4弹得100分. 某人每次射击的命中率为0.6, 此人期 望能得到多少分？解：设4次射击中命中目标的子弹数为X ，得分为Y ，则X ~B (4,0.6)因为 0256.04.06.0)0(44=⨯==C X P1536.04.06.0)1(3114=⨯==C X P 3456.04.06.0)2(2224=⨯==C X P 3456.04.06.0)3(1334=⨯==C X P 1296.04.06.0)4(0444=⨯==C X P所以Y 的分布律为故期望得分为1296.01003456.0553456.0301536.0150256.00)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E= 44.644.6 设随机变量 X 的概率分布为132{(1)}(1,2,,),3kk kk P X k +=-==说明X 的期望不存在。

解:级数1111322(1)3k k kk k k k k xp k k∞∞∞+====-⨯=∑∑∑发散,不符合离散型随机变量期望定义的要求,从而X 的期望不存在.4.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗, 在各交通岗遇到红灯是相互独立的, 其概率均为0.4. 求途中遇到红灯次数的期望.解：设遇到红灯次数为X ，依题意，知X ~B (3,0.4)故 2.14.03)(=⨯=X E4.8 设随机变量X 的概率密度函数为,01,()2,120,x x f x x x ≤≤⎛=-<≤ ⎝其他, 求().E X解：312212320111()()(2)()1.33x E X xf x dx x dx x x dx x x +∞-∞==+-=+-=⎰⎰⎰4.9设随机变量X 的概率密度函数为,02,(),240,ax x f x bx c x <<⎛=+≤≤ ⎝其他又3()2,{13}4E X P X =<<=,求常数,,a b c 的值. 解： 由()1f x dx +∞-∞==⎰2402()axdx bx c dx ++⎰⎰，得 1262=++c b a ①因为 dx c bx x dx xax dx x xf X E ⎰⎰⎰++==+∞∞-4220)()()(c b a 635638++= 所以，由2)(=X E ，得2635638=++c b a ②又 =++=<<⎰⎰dx c bx dx ax X P 3221)()31(c b a ++=2523由 43)31(=<<X P ，得432523=++c b a ③解联立方程①②③，得41=a ，41-=b ，1=c4.10 设随机变量X 的概率密度函数为21(),,(1)f x x x π=-∞<<+∞+说明X 的期望不存在. 解:积分2202()(1)1x xx f x dx dx dx x xππ+∞+∞+∞-∞-∞==++⎰⎰⎰,显然,积分发散,根据连续型随机变量期望的定义, X 的期望不存在.4.11 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩X (百分制) 近似服从正态分布, 平均成绩为 72 分, 96 分以上的考生占考生总数的2.3%. 求考生外语成绩在60 分至84 分之间的概率.解：设),(~2σμN X ，依题意得，72)(==X E μ又 023.0%3.2)96(==>X P ，则)2(977.0)96(Φ==≤X P 即有 )2()7296(Φ=-Φσ所以27296=-σ得 12=σ所以 )12,72(~2N X故所求的概率为 )1|1272(|)12|72(|)8460(≤-=≤-=≤≤X P X P X P 6826.018413.021)1(2=-⨯=-Φ=4.12 对习题4.1 中的随机变量X , 计算22()(54)E X E X +、. 解：21.032.023.014.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=X E144254)(5)45(22=+⨯=+=+X E X E4.13 设随机变量X 的概率密度函数为,0,()0,0,x e x f x x -⎛>=≤⎝,分别计算2Y X =的期望和2XY e -=的期望解：因为 )(~λE X ，其中1=λ，所以 11)(==λX E故 212)(2)2()(=⨯===X E X E Y E31)()(030222====⎰⎰⎰+∞-+∞--+∞∞---dx e dx e edx x f eeE x xxxX4.14 对球的直径做近似测量, 设其值均匀分布在区间(,)a b 内, 求球体积的均值.解：设球的直径测量值为X ，体积为V ，则有316V X π=.显然X 的概率密度函数为 1,,()0,,a xb f x b a⎛≤≤ =- ⎝其他因此,球体积的均值为2233111()()()()6624b a a b a b E V E X x dx b a π++===-⎰.4.15 游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光, 电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起运行. 设某一游客在早八点的第 X 分钟到达底层候梯处, 且~[0,60]X U , 求该游客等候时间的期望.解: 用随机变量Y 表示游客的等候时间(单位:分钟),则()Y g X =,其函数关系为5,05,25,525,()55,2555,65,5560.x x x x y g x x x x x -≤≤⎧⎪-<≤⎪==⎨-<≤⎪⎪-<≤⎩由于~[0,60]X U ,根据随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为 52555605255570()[()](5)(25)(55)(65).6E Y E g X x dx x dx x dx x dx ==-+-+-+-=⎰⎰⎰⎰4.16设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为212,01,(,)0,,y y x f x y ⎛≤≤≤=⎝其他,求22(),(),(),()E X E Y E XY E X Y +. 解：因为，当10≤≤x 时，302412),()(x dy y dy y x f x f xX ===⎰⎰+∞∞-当10≤≤y 时，)1(1212),()(212y y dx y dx y x f y f yY -===⎰⎰+∞∞-所以，544)()(310=⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E X 53)1(12)()(102=-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y y y dy y yf Y E Y dy y xy dx dxdy y x xyf XY E x⎰⎰⎰⎰==+∞∞-+∞∞-10212),()(213310514==⋅=⎰⎰dx x dx yx x 又 324)()(310222=⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x X E X 52)1(12)()(102222=-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y y y dy y f y Y E Y 故 15165232)()()(2222=+=+=+Y E X E Y X E4.17 设随机变量X 与Y 相互独立, 概率密度函数分别为2,01,()0,,X x x f x ≤≤⎛=⎝其他和5,5,()0,5,y Y e y f y y -⎛>= ≤⎝ 求()E XY . 解： 322)()(10=⋅==⎰⎰+∞∞-xdx x dx x xf X E ， )()()(5555y y e yd dy e y dy y yf Y E -+∞-+∞+∞∞--=⋅==⎰⎰⎰6155555555=+=-=+-=+∞--+∞+∞-⎰yy ye dy e ye因为X 和Y 相互独立，所以 4632)()()(=⨯==Y E X E XY E .4.18 设二维随机向量(,)X Y 服从圆域222{(,):}D x y x y R =+≤上的均匀分布,求E .解: 根据二维随机向量的计算公式：222(,),x y R E x y dxdy +∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 此积分用极坐标计算较为方便，于是有222123R R E r drd R πθπ==⎰⎰4.19 设随机变量X 与Y 相互独立,并且均服从(0,)U θ,求(max{,})E X Y . 解：由于X 服从(0,)U θ，故其分布函数为0,0,(),0,1,.X x x F x x x θθθ≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩同理，Y 服从(0,)U θ，故其分布函数为 0,0,(),0,1,.Y y y F y y y θθθ≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩于是根据公式3.7.5，max{,}X Y 的分布函数为 2max 20,0,(),0,1,.z zF z z z θθθ≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩求到后得密度函数2max 2,0,()0,.zz f z θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他因此+max -2(max{,})=().3E X Y zf z dz θ∞∞=⎰4.20 民航机场的一辆送客汽车每次载20名旅客自机场开出, 沿途有10个车站. 若到达一个车站时没有旅客下车, 就不停车. 设每名旅客在各个车站下车的概率是等可能的, 求汽车的平均停车次数.解：用随机变量X 表示汽车的10个车站总的停车次数，并记1,0i i X i ⎧=⎨⎩第站有旅游下车，，第站无旅游下车，1,2,,10,i = 显然，i X 均服从两点分布，且1210X X X X =++，于是有202099{0}(),{1}1(),1010i i P X P X ====-由此求得202099()1()0.8784,()10[1()]8.7841010i E X E X =-==-=.4.21 将一颗均匀的骰子连掷10 次, 求所得点数之和的期望.解：设X i 表示第i 次掷出的点数(i =1,2,…,10)，则掷10次骰子的点数之和为∑==101i iXX 。