第二十六章反比例函数
26.1.1 反比例函数的意义
教学设计
执教者：于孙潮时间：2015年12月1日
教学目标
1、从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。

2、使学生理解并掌握反比例函数的概念。

3、能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。

4、培养观察、推理、分析能力，认识反比例函数的应用价值；
教学重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式。

教学难点：反比例函数解析式的确定。

教学方法：启发法、类比法。

教学过程：
一、创设情境，导入新课
问题：
现有一张100元的人民币，如果把它换成50元的人民币，可得几张？换成10元的人民币可得几张？依次换成5元，2元，1元的人民币,各可得几张？
请大家仔细观察这张表格，我们可以发现当面值由大变小的时候，张数会怎样变化？你知道什么没有变？
如果用含x的式子表示y怎么写？y是不是x的函数吗？
设计意图：
以一个简单的数字问题引入，目的是让学生在很快的时间里说出显而易见的答案，便于增强学生学好本课的自信心，使他们能愉快地进行新知的学习。

二、联系生活，探究新知
在下列实际问题中,变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示?
(1)一辆以60km/h匀速行驶的汽车，它行驶的距离S(单位：km)随时间t(单位：h)的变化而变化。

(2)一辆汽车的油箱中现有汽油50升，如果不再加油，平均每千米耗油量为0.1升，油箱中剩余的油量y(单位：升)随行驶里程 x（单位：千米）的变化而变化。

(3)京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化。

（4）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m ）随宽x（单位：m ）的变化而变化。

（5）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S （单位：平方千米/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化。

（6）正方形的面积S随边长x的变化而变化。

在上面所列出函数中哪些是我们学过的函数？
设计意图：
1、创设情景,符合学生的生活经验,有利于激发学生兴趣；有利于知识发生、发展和形成；有利于感受生活中处处有数学。

2、设置问题串,唤醒学生记忆,做好新旧知识的衔接。

3、简单感知变化与对应思想，引入新课。

剩下的函数有什么共同的特征？如果让你给它下一个定义，你怎么定义它？
的函数，我们称之为反比例函数。

是自变量，是函数。

k叫做。

思考问题：
函数 y=k
x
(k≠０)中,自变量x的取值范围是什么？
注意：在实际问题中，自变量的取值还需考虑它的实际意义。

活学活用
下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
(1)y=4
x ; (2)y=−1
2x
; (3)y =1- x
(4)xy =1 ; (5)y=x
2
; (6)y=x2
(7)y=x−1 ; (8)y=1
x
−1
思考：反比例函数的形式还有那些？
关系式xy + 4 = 0中，y是x的反比例函数吗？
若是，比例系数k等于多少？
若不是，请说明理由。

1、如果函数y =k x 2k+3为反比例函数，那么k= ，此时函数的解析式为 ；
2、已知函数y =3x m−7是反比例函数，则m= ；
3、当m 取什么值时，函数y =（m +1）x m 2−2是x 的反比例函数？
设计意图：
1、引导学生从形式上观察总结反比例函数的特征。

2、设计目的有二:一是检查反馈学生对反比例函数形式的理解；二是丰富常数k 的取值形式，澄清易错点。

3、引导学生使用类比法、归纳法得出反比例函数的概念。

对定义中的一些规定，学生答出来有困难时，教师可直接明示。

4、从不同的问题情境中抽象出相同的数学模型，再进行抽象得出概念的过程，并非教师所强加，而是学生通过自己分析走向概念，突破本节课的难点，使学生的自豪感和成功感在活动中得以提升，体现类比、转化、建模等数学思想。

例题欣赏
例1：（课本P3 例1）已知y 是x 的反比例函数，当2=x 时，6=y
⑴写出y 与x 的函数关系式。

⑵求当4=x 时，y 的值。

变式：已知y 与x+1成反比例，当x ＝3时，y ＝4，当y=3时，求x 的值。

设计意图：
1、引导学生类比一次函数中的待定系数法，对知识的适当回忆和再运用，缩小了新旧知识间的思维差距。

2、变式题的设计适当增加学生知识技能训练的难度，加深学生对反比例函数意义的认识，对基本技能达到熟练程度，体会整体代换思想。

3、体会函数与自变量之间的单值对应关系，突出变化与对应的数学思想。

三、巩固新知 ，发展思维
1、已知y 与x 2 成反比例，并且当x=3时y=4.
(1) 写出y 和x 之间的函数关系式；
(2)当x=1.5时，求y 的值；
(3)当y=6时，求x 的值。

2、已知函数 y = y 1 + y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x=1时，y=4；
当x=2时，y=5。

(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)当x=4时，y 的值。

设计意图：
培养了学生“发现问题”、“解决问题”的能力，也达到了学以致用的目的。

四、课堂小结
同学们，今天你收获了什么？
一、知识点
反比例函数的意义： 若y 是x 的反比例函数，则 ；若 ，则y 是x 的反比例函数。

二、方法
待定系数法
五、认真思考，超越思维 1.(中考)已知A （x 1,y 1），B （x 2，y 2）都在 的图象上.若x 1x 2=-3，则y 1y 2的值为______。

设计意图：
使学生对所知识进行再认识,得以巩固和加深记忆,同时,也可以使所学知识系统化,知识更加趋于合理化。

六、课外作业
活页 26.1.1反比例函数意义
七、 板书设计
一、知识点
反比例函数的意义： 若y 是x 的反比例函数，则 ；若 ，则y 是x 的反比例函数。

二、方法
待定系数法
八、教学反思
本节课我以学生为主体，以“小组活动+自主探究+有效作业设计”为主要方式，让学生在自主、合作、互动的空间里，产生积极的情感体验，从而以高涨的热情主动参与学习活动，达到掌握知识的目的。

1、新旧交织，形成知识体系。

抓住概念与旧知之间的联系，为引出概念打下伏笔，以旧引新，减轻学生理解概念的困难程度，使得学生对概念的理解轻松有效。

6y=x )0(≠=k x k y )0(≠=k x k y )0(≠=k x k y )0(≠=k x k y
2、动手操作，自主探究解密。

“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现。

”这样的发现，学生是印象最深的，也是最容易理解和记住的。

在定义的学习中，先是让学生对反比例函数的表达式和特点有初步的感性认识，然后联系生活中的三个实例，加深认识；让学生自己判断，从而加深对概念和表达式的理解。

在教学中真正体现了“以学生为主体”这一原则，给学生更多的时间和空间，让他们自己发现问题、提出问题、探究问题、解决问题。

3、小组合作，共同解决问题。

开展小组合作学习为全体学生，尤其是为学习困难的学生提供了更多的课堂参与机会，增强了主体参与性。

本节课的许多环节，都采用了小组合作的形式，还有小组间的互相合作，这样既有利于开展有竞争的合作，还可以将学生个人独立的学习成果转化为全组共有的认识成果，再将小组共同的认识成果转化为全班共有，拓展了思维，培养了群体意识和活动能力，提高了教学时效。

4、联系生活，解决实际问题。

知识来源于生活，又服务于生活，学习知识的最终目的还是能运用知识解决实际问题。

课堂上采用教师引导，学生自主探究和小组合作相结合的教学方式，在学法上，倡导新课程的动手实践、独立探究、合作交流的学习方法，充分调动学生学习的积极性，创设和谐、轻松的学习氛围。