第一章 复数与复变函数一、选择题1．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π-=，那么=z （ ）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．一个向量顺时针旋转3π，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数（ ）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 4．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 5．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周6．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续 （D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 和 的线 段的垂直平分线5．=+++→)21(lim 421z z iz三、将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+四、求下列各式的值： （1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3）1i +五、解方程：5()1z i +=六、设复数1≠z ，且满足,1||=z ，试证21]11Re[=-z .七 、证明复平面上的直线方程可写成:0,(0a z a z c a ++=≠其中为复常数，c 为实常数）八、证明复平面上的圆周方程可写成:0,(z z a z az c a +++=其中为复常数，c 为实常数）九 、函数1w z=把下列z 平面上的曲线映成w 平面中的什么曲线？ (1) yx = (2) 224x y +=十、)0(),(21)(≠-=z zzz z i z f 试证当0→z 时)(z f 的极限不存在。
第二章 解析函数一、判断题(1)若)(z f 在点0z 不连续，则)(z f 在点0z 不可导.( )(2)若)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 解析.( )(3)若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析.( )(4)指数函数ze 是以i π2为周期的函数.( ) (5)z sin 在整个复平面上有界. ( )二、选择题1．函数22)(iy x z f +=在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．假设点0z 是函数)(z f 的奇点，则函数)(z f 在点0z 处( ) （A ）不可导 （B ）不解析（C ）不连续 （D ）以上答案都不对 3．下列函数中，为整个复平面上解析函数的是( ) （A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2 (C ）)33(332323y y x y i x xy x ++-++- （D ）Z 4．函数)Re()(z z z f =在0=z 处的导数( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在三、填空题学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________1．设)1sin()2cos()(zi z z f +=，则=dz df 2．复数=)Ln(21i3．=-)}43Im{ln(i 4．方程01=--z e 的全部解为四、证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数. (1)若)(z f 也在D 内解析; (2) 若()f z 在D 内为常数;(3) ,au bv c +=其中a,b 与c 为不全为零点实常数。
五、讨论下列函数的解析性：（1） z z 2||2+ （2）y ix xy 22+ （3） )sin (cos x i x e y +- 六、求2z e 和2z Arge七、求下列初等函数的值。
（1）)42(i e π+ （2）i 2sin ；（3） ()Ln i - （4） (1)i i +(5) ln(34)i -+八、解方程：（1）0cos sin =+z z ;（2）i iz 22)2ln(π+=; (3) cos 0z =九、当,,l m n 取何值时3232()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面上处处解析？第三章 复变函数的积分一、 判断题 1. 积分⎰=--ra z dz a z 1的值与半径)0(>r r 的大小无关。
（ ） 2. 若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析。
（ ） 3. 若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析。
（ ）4. 设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =。
（ ）5. 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。
（ ）6. 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。
（ ） 二、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( )（A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________4．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-5．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）1 6．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （ ）（A ）21eπ- (B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-7．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v - （C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xvi x u ∂∂-∂∂ 三、填空题1．设C 为正向圆周1||=z ，则=⎰Cz z d2．设C 为正向圆周14=-z ，则20153sin 2d ππθθ=+⎰3．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd z z f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zzz 5．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的6．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a 四、利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.（1）240ize dz π⎰（2）2sin iizdz ππ-⎰ （3）1sin z zdz ⎰五、计算下列复积分，圆周均为正向 （1）11()(2)2z dz i z z =-+⎰； （2）23221izz i e dz z -=+⎰， （3）2232(1)(4)z dz z z =++⎰； （4） ⎰=-45)(z zdz i z e π六、计算积分312(1)zce dz iz z π-⎰，其中c 为下列正向圆周： (6)12z =（2）112z -= （3）2z =七、已知下列各调和函数,试求解析函数()f z u iv =+(1) 22, ()1u x xy y f i i =+-=-+，(2) 22, (2)u xy y f i =-=-，八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设(),()f z g z 都在简单闭曲线c 上及c 内解析，且在c 上()()f z g z =， 证明: 在c 内也有()()f z g z =。
十、设1C 与2C 为两条互不包含,也互不相交的正向简单闭曲线,证明:1222001000021sin []2sin C C z z C z zdz dz i z z z z z z C π⎧+=⎨--⎩⎰⎰当在内时，当在内时。
十一、设解析函数()f z u iv =+,试证:(1) 2()u v i f z -是的共轭调和函数；（）也是解析函数。
十二、设()f z 在圆环域 12R z a R <-<内解析,作两圆周: 121122,;z a K z a K R K K R -=-=<<<且, 当z 满足102K z a K <-<,试证:柯西积分公式仍成立,其中12C K K -=+第四章 级 数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在 2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i （C ） ∑∞=1n n n i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i 3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )(A) ∑∞=+1)1(1n n i n (B)∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n n n i (D ）∑∞=-12)1(n nnn i 4．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定5．设幂级数∑∑∞=-∞=010,n n n n n n z nc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) (A) 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+7．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为( )（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z - （D ）z +11ln (D) z-11ln 8．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z (C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的 9．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n二、填空题1．幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径=R .2．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为D 内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=00)()(n n n z z c z f 成立，其中=n c .3．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 ．4．设幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n n z c 的收敛半径为 ．5．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 .三、下列级数是否收敛？是否绝对收敛?(1)1!n n i n ∞=∑ ； (2) 2ln nn i n ∞=∑(3) 0cos 2n n in ∞=∑ (4) ()035!nn i n ∞=+∑四、试确定下列幂级数的收敛半径．(1) ()01nnn i z ∞=+∑ (2) 0!nn n n z n ∞=∑(3) 1inn n e z π∞=∑ (4) 221212n nn n z ∞-=-∑五、把下列函数展开成z 的幂级数,并指出收敛半径.(1) 221(1)z + (2) 1zz e -六、求下列函数展开在指定点0z 处的泰勒展式，并写出展式成立的区域． （1）0,2(1)(2)zz z z =++ （2）021,1z z =（3）01,143z i z=+-七 、将函数1(1)(2)z z --在指定的圆域内展开成洛朗级数．(1)011,(2)12z z <-<<-<+∞八、如果级数0n n n c z ∞=∑在它的收敛圆的圆周上一点0z 处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛．第五章 留 数一、选择题： 1．函数221(1)z z z -+在2=z 内的奇点个数为 ( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数)(z f 以a z =为m 级零点，则a z =为函数)(1z f 的( ) （A ）可去奇点 （B ）本性奇点（C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点3．设0=z 为函数3sin zz的m 级极点，那么=m ( )（A ）2 （B ）4 (C)3 （D ）5 4．设∑∞==0)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re kz z f s ( ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k 5．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）(A) 21()z e f z z-= （B ）z z z z f 1sin )(-=(C ）zzz z f cos sin )(+= (D) z z z f sin )(=二、填空题1．设0=z 为函数2(1)z z e -的m 级零点，那么=m ．学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________2．函数241()ze f z z -=在其孤立奇点0=z 处的留数=]0),([Re z f s ．3．若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则=]),([Re 0z z f s ． 4．积分=⎰=113z zdz e z．三、求下列函数在有限孤立奇点处的留数．(1) 212z z z +- （2）241ze z-(3)21sin z z (4)4231(1)z z ++（5）1sin z z四、利用留数计算下列积分（积分曲线均取正向）．（1）222(1)zz e dz z =-⎰ （2）232(1)(3)z z e dz z z =-+⎰（3）12sin (1)z z z dz z e =-⎰ （4）221sin z z dz z =⎰五、证明：如果0z 是()f z 的(1)m m >级零点，那么0z 是'()f z 的1m -级零点．六 *、求出下列函数在∞的留数(1)21z e z - (2) 41(1)(4)z z z +-七 *、求下列各积分之值：(1). 20153sin d πθθ+⎰ (2).201cos d a πθθ+⎰ (3).2401x dx x+∞+⎰; (4) 2cos 45x dx x x +∞-∞++⎰积分变换一、填空题1.[1]F = .2.设[()]()F f t F w =，则()F w 与()f t 有 （相同，不同）的奇偶性.3.[()]F u t = .4.函数0()sin 3()f t t t t =δ-的傅立叶变换 ..5.e t2-⎡⎤=⎣⎦L .6.[]sin cos t t =L ..7.124s s -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L..8.()()1112s s -⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦L..二、综合题1．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________2.已知(),0,00,⎩⎨⎧<≥=-t t e t f t β ()[]t f F -求3.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.4.求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换.5．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦，求该函数()f t .6．求下列函数的Laplace 变换：1）()π3,2.πcos ,2t f t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩. 2) ()()2e 5δt f t t =+3) ()1e t f t t =- 4) ()cos f t t at =7*、设()()212,0,0,0,00,0t t t t f t f t t t ≥⎧≥⎧==⎨⎨<<⎩⎩，求：()()t f t f 21*8*.若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的微分性质）:()()()()()1,Re nn nF s t f t s c ⎡⎤=->⎣⎦L特别地，()()tf t F s '⎡⎤=-⎣⎦L ，或()()11f t F s t-'⎡⎤=-⎣⎦L ,并利用此结论计算下式：(1)()30e sin 2d t tf t t t t -=⎰，求()F s .(2) ()1ln1s F s s +=-，求()f t .三、利用Laplace 变换求解下列方程：1.()()43,001ty y y e y y -''''++===2.222e cos2,(0)(0)0t y y y t y y ''''-+=⋅==3.2e ,(0)(0)(0)0t y y y y y '''''''+====e 4.,322et t x x y y x y '⎧+-=⎪⎨'+-=⎪⎩()()00,0 1.x x '==-答案第一章 复数与复变函数一、BAADCC二、1，2；2，8arctan -π；3，ie θ16；4，12i -+；2i - 5，12i -+三、（1）2ieπ;(2)232i eπ四、（1）16(3)i -+ ;（2）512- ;（3）1i +48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩五、 25k i z ei π=-， (0,1,2,3,4)k =六、略 ; 七、略 ;八 、略 九、(1)2214u v +=，表示一半径为12的圆周。