专题01二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、 换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、 二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、 直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子 •2、 变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式 与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学 就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展 • 想一想：若x 二、n （其中x, y, n 都是正整数），则x,.. y,、、n 都是同类二次根式，为什么?例题与求解B 、一 1（绍兴市竞赛试题）【例1】1 「2002 时—y 时，代数式 (4x 3 -2005x-2OO1 )2003 的值是( 22003(1)丄B_b 丄a, 、b”a . b ab -b（黄冈市中考试题）（五城市联赛试题）【例2】化简⑶? 4.3 3 2_（.•6 .3）（「3 J2）3、厉-、10 -2.6 3.3-2 18.5 2,3 1（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通 过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解题的难度【例3】 比•、、5）6大的最小整数是多少?（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设想一想：设 X =.;；19-8；3,求X_?x字18x 23的值.x -7x +5x+15形如：-A —「B 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式（北京市竞赛试题）x =6 5, y - , 6 - \ 5,（“祖冲之杯”邀请赛试题）【例4】设实数x, y满足（x . X21）（y y21）=1，求x+ y的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化【例5】（1）代数式',x2• 4 • . （12-X）2• 9的最小值.（2）求代数式,x2-8x • 41「x2-4x - 13的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，J a2 +b2的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y = J（x_4）2+52+ J（X-2）2+32，设A（x，0），B（4，5），C（2，3）相当于求AB+ AC 的最小值，以下可用对称分析法解决•方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式【例6】设m = J a+2>/a—1 +Q a—2ja—1（1 Wa 兰2），求m0 +rm +m +||| + m — 47 的值•解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值能力训练1•化简：（7）10043 32008 1 52008_ 15一(“希望杯”邀请赛试题)2008 20087 352.若x y = 3 5 - 2, x - y = 3,2 -、5，则xy =（北京市竞赛试题）.1997 ^.1999____ + ----------- . " —---------- +3 计算：(J1997 _(1999)(^/1997 -72001) &1999 -(2001)(71999 -V1997)•、2001仁2001 - "997)( .2001 - 1999)（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0 v x v y及•.. 1088 = x •y的不同整数对（x, y）是（上海市竞赛试题）5.如果式子（X-1）2& -2）2化简结果为2x—3，则x的取值范围是（A. x w 1B. x> 2C. 1 < X W 2D. x>06、计算,14 -6,5 -/4-6；5 的值为（)（全国初中数学联赛试题）2a+ 999b+ 1001c 的值是（）（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题A. 1B. .5C. 2.5D. 5甲：,3是不相等的无理数,乙: ,3是不相等的无理数, 是无理数;a +P丙: ,3是不相等的无理数, ■::厂是无理数;其中正确命题的个数是（A. 0个B. 1个C.2个D. 3个9、化简:(1)X、y -y、x y . x x yXi y y x y x「X、y(2)（全国初中数学联赛试题）2、石、3 & - .57. a, b, c为有理数，且等式a b 2• c、. 3 = 5 • 2 ” 6成立，则A. 1999B. 2000C. 2001D. 不能确定6、计算,14 -6,5 -/4-6；5 的值为（)11 5.7 ^67、77 - 66 142y/3+y/5 3 - .6- .1Q ,15（“希望杯”邀请赛试题）10、设x 二33~5，求代数式2(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)的值.11、已知-7x 2 9x 1^ .7x 2 -5x 1^7x ，求 x 的值.⑷5-、24 怖+3-丽-丁15（天津市竞赛试题）（“希望杯”邀请赛试题）12、设x =屮十1 _四，x = *n 十1十也 （n 为自然数），当n 为何值，代数式19x 2+123xy + 19y 2的 J n +1 +你J n +1 —亦值为1985 ?1 11.已知 X ：- ----- ,y ：- ----- ，则 x 3 12xy y 32+灵 2-732.已知实数 x , y 满足(x-J x 2 -2008)(y-Jy 2 -2008) = 2008，贝H 3x 2 _2y 2+3x _3y _2007 =_（全国初中数学联赛试题）3.已知那么宀（全国初中数学联赛试题）已知 a = 2 -1,b = 21 2 - 6, c = 6 -2，那么 a , b , c 的大小关系是Aa :: b :: c B . b v a v c C . c v b v c（全国初中数学联赛试题）（陕西省竞赛试题）把(a -1)中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（.（四川省竞赛试题）（重庆市竞赛试题）4. 5.a=换+近+近那么？+2 + 4 =______________________ . a a aa ,b 为有理数，且满足等式 a b 、「3二、.6L. 1「厂2 .'3 （全国初中数学联赛试题）则 a + b =(A. 2B. 4C. 6D. 8D . c <a v b7.已知 = 1a ，则4x ■ x 2的值是（1 A. a -a1 B.a C.aD. 不能确定若［a ］表示实数 a 的整数部分，则［ .1667】等于（） A. 1B. 2C.3D. 4A. \ 1 - aB.a -1C. - a -1D. - 1 - a10、化简:8 2- 一10 - .6i5 .3 -「2(4) .. 2(6-2.3-2 5 、15)11、设0 ：： x ：： 1,求证、5 一 X2 1 _ 1 (1 -x)2:: 12.12、求.x2-8x • 41 - x^4x 13 的最大值.（武汉市调考题）（“五羊杯”竞赛试题）13、已知a, b, c为正整数，且-------- 为有理数，证明:J3b+c a2b2c2(1)998 1999 2000 2001 11 丄 12 J 1 *23 72 2,31 ______100 =99 99「100（“希望杯”邀请赛试题）（新加坡中学生竞赛试（山东省竞赛试题）（太原市竞赛试专题01二次根式的化简与求值612), ( 153,420) 5.B 6.C 7 ,B 8 .A 9.(1)空-(2)原式=「: ----------------------丁3十(2—丁5x — y例1 A 提示：由条件得 4x 2 — 4x — 2 001 = 0. 例2 （1）原式=阿応严）［ _________________________ 1— 真+逅 ）（a +逅 証j 2（75+77）_ 石（話+万） ⑵原式=_ _ _ _ _ _ = 2、、6 — 5. 冋厉+ 冋+的（亦+7?） a-b = 2.ab ⑶原式=寫3C=T6^E /皿； (4)原式=小- 22"3- 2 3「2 = 3—2 . .5 2.3 1 x + y = 2.6 , xy = 1，于是 x 2 + y 2= (x + y)2— 2xy = 22 , x 3 + y 3= (x + y^x 2 — xy + y2) = 42 6 , x 6 + y 66 6=(x 3 + y 3)2— 2x 3y 3= 10582 .v 0< .6—5 v 1，从而 0 v .6-5 v 1,故 10 581 v •. 6 _ 5 v 10582. 例 4 x + •. x 2 1 = -------- ------- = ■ y 2 1 — y …①；同理，y + y 2 1 y x …②.由①+②得 2x =— 2y , x + y = 0 . 例5 （1）构造如图所示图形，PA =J x 2 +4 , PB = J (12 _x $+9 .作 A 关于 I 的对称点 A'，连 A'B 交 I 于 P , 则A'B = J122+52= 13为所求代数式的最小值. ⑵设y = J （x-4$ +52+ J(x -2 j +32，设 A(x , 0), B(4, 5), C(2, 3).作 C 关于 x 轴对称点 Ci ,连 例于＜D 题禺结BG 交X 轴于A 点.A 即为所求，过B 作BD 丄CC 于D 点，/• AC + AB = GB =.22 82 = 2 .17 . 例 6 m = ： \ a -1 \ 亠 2、；'a -1 *1 12 a -1 -2 a -1 *1 12 = a __ 2 _____ 2-1 1 + ■ a -1 -1 . v 1 w a w 2 ,・ 0 w /a -1 w 1,・・一1w •• fa-1 — 1w 0,・・ m = 2.设 S = m 10+ m 9 + m 8+…+ m — 47= 210+ 29+ 28+…+ 2-47 ①，2S = 211 + 210+ 29+…+ 22- 94 ②，由②一①, ^5(2)34®得 S = 211 — 2- 94 + 47= 1 999. A 级 1. 12. - 23. 0 提示：令 1997 = a , 1999 = b , 2001 = c .4. (17, 833), (68,3 2.62 -5珂'3 十J2—J5专题01 二次根式的化简与求值=.3 .2 . 5 . (3)..11_ ._6 (4)3(5)2 10. 48 提示：由已知得 X + 5x = 2，原式= 2(x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6). 11 •由题设知 x > 0 , ( . 7x 2 ■ 9x 13 + . 7x 2 _5x 13 )( . 7x 2 • 9x 13 —■.7x 2「5x T3) = 14x .「. •.7x 2_ 9x ■■13 — 7x 2 —5x 13 = 2，二 2 7x 2 9^/13 = 7x + 2,「. 21^— 8xB 级 1. 64 2.1 提示：仿例 4,由条件得 x = y ,「.(x — x 2 一2008)2= 2 008, A x 2— 2008 — x ,x 2 - 2008 =0, A . x 2 -2008 ( x 2 -2008 — x)= 0，解得 x 2= 2 008 .A 原式=x 2— 2 007= 1 .3. —4. 1 提55示：T (』2 — 1)a = 2— 1，即—=，2 — 1. 5. B 提示：由条件得 a + b 3 = 3+・.3 , A a = 3, b = 1, a6. B 提示：a — b = ,6 — 1—2 > •3 2、2 — 1 — 2 = 0.同理 c — a >0边长为 1 的正方形 ANMD , BCMN.设 MP = x ,贝U CP =寸‘1 +x " , AP = J+(1—x f , AC =亦，AM = 72 ,A AC W PC + PA v AM + MC,,贝U 亦 w 山 +x 2 + J 1 +(1 _x j v 1 +72 12.设 y = J x 2 -8x +41 — J x 2 -4x +13 = &x —4 j +52 — J(x -2 2 +32 ,设A(4, 5), B(2, 3), C(x , 0)，易求AB 的解析式为y = x + 1，易证当C 在 直线 AB 上时，y 有最大值，即当 y = 0, x =— 1,A q — 1, 0), A y =一 ■ 3a3a ' b ："』3b —c 3ab —^bc 亠、<3 b 2 —^ac 2 22 2 .13.3a b =_ - = --------------------- 2一2 ------------ 为有理数，则 b 2 — ac = 0.又 a 2+(3b +c(虫b +c 、(V 3b -c )3b —cb 2+c 2= (a + b + c)2— 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)2— 2(ab + bc + b 2)= (a + b + cf — 2b (a + b + c ) = ( a + b + c ) ( a — b + c ), A 原式=a — b + c 为整数.—48 = 0.其正根为x = 12712. n = 2 提示：xy = 1, x + y = 4n + 2.7. B 8. B9. D 提示: 注意隐含条件a — 1 v 0 .10. (1)1 998 999.5 提示：设 k = 2 000 ,原式=k 2 -k -129111(2)10提示：考虑一般情形n.1.n nn.1 = n ― n1⑶原式=— -2 _ _ _8215一 2'5 3 53一2 53= ,, . (4)2 - 5 - 3 11 .53 -、2 .5 .3 -、2构造如图所示D艇(7。