6
6
＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582 ．∵0＜ 6 5 ＜1，从而 0＜ 6 5 ＜1，故 10 581＜ 6 5
＜10 582． 例 4 x＋ x2 1 ＝
1
＝ y2 1 －y…①；同理，y＋ y2 1 ＝
1
＝
y y2 1
x x2 1
x2 1 －x…②．由①＋②得 2x＝－2y，x＋y＝0． 例 5 (1)构造如图所示
≤ a 1 ≤1，∴－1≤ a 1 －1≤0，∴m＝2．设 S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－ 47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①， 得 S＝211－2－94＋47＝1 999． A 级 1．1 2． 5 2 3．0 提示：令 1997 ＝a， 1999 ＝b， 2001 ＝c． 4． (17，833)，
＝
3
1
＝ 6 2；
6 3 3 2
6 3 3 2
5 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 2
（4）原式＝
＝3 3 2 ．
5 2 3 1
例 3 x＋y＝2 6 ，xy＝1，于是 x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝42 6 ，x6
1 1 x2 ＜ 1 ＋ 2 12 ． 设 y ＝ x2 8x 41 － x2 4x 13 ＝
x 42 52 － x 22 32 ，设 A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求 AB
的解析式为 y＝x＋1，易证当 C 在直线 AB 上时，y 有最大值，即当 y＝0，
x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝ 2 2 ． 13． 3a b ＝ 3a b
(68，612)，( 153，420)
5．B
6．C
7．B
8．A
2x y
9．(1) x y
(2)原式＝ 3 2 6 2 5 ＝ 3 2 5
2
2
3 2 5 ＝ 3 2 5 ．(3) 11 6 (4) 5 3 (5) 3 2 10．48 提示：由已知
3 2 5
2
得 x2 ＋ 5x ＝ 2 ， 原 式 ＝ (x2 ＋ 5x ＋ 4)(x2 ＋ 5x ＋ 6) ． 11 ． 由 题 设 知 x ＞ 0 ， ( 7x2 9x 13 ＋
3b c
3b c
3b c 3ab bc 3 b2 ac
＝
为
3b c
3b2 c2
有理数，则 b2 －ac＝0．又 a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝
a b c2 －2b（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c 为整数．
＞0 7．B 8．B 9．D 提示：注意隐含条件 a－1＜0． 10．(1)1 998 999.5 提示：设 k
＝2 000，原式＝ k 2 k 1 ． (2) 9
2
10
提示：考虑一般情形
1
＝1－ 1
n 1 n n n 1 n n 1
(3)
8 2 15 2 5 3
5
2
3
2
5
3
x x2 2008 ＝0，∴ x2 2008 ( x2 2008 －x)＝0，解得 x2＝2 008．∴原式＝x2－2 007＝1． 3． 9 55
4．1 提示：∵( 3 2 －1)a＝2－1，即 1 ＝ 3 2 －1． 5．B 提示：由条件得 a＋b 3 ＝3＋ 3 ，∴a a
＝3，b＝1，∴a＋b＝4． 6．B 提示：a－b＝ 6 －1－ 2 ＞ 3 2 2 －1－ 2 ＝0．同理 c－a
图形，PA＝ x2 4 ，PB＝ 12 x2 9 ．作 A 关于 l 的对称点 A'，连 A'B
交 l 于 P ， 则 A'B ＝ 122 52 ＝ 13 为 所 求 代数 式 的 最 小 值 ． (2) 设 y ＝
x 42 52 ＋ x 22 32 ，设 A(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作 C 关于 x
原式＝
＝ 5 3 2
5 3 2
＝ 5 3 ．(4)2－ 5 3 11．构
造如图所示边长为 1 的正方形 ANMD，BCMN．设 MP＝x，则 CP＝ 1 x2 ，AP＝ 1 1 x2 ，AC
＝ 5 ， AM ＝ 2 ， ∴ AC≤ PC ＋ PA ＜ AM ＋ MC ，， 则 5 ≤ 1 x2 ＋
7x2 5x 13 )( 7x2 9x 13 － 7x2 5x 13 )＝14x．∴ 7x2 9x 13 － 7x2 5x 13 ＝2，∴
2 7x2 9x 13 ＝7x＋2，∴21x2－8x－48＝0．其正根为 x＝ 12 ． 7
＋y＝4n＋2．
12．n＝2 提示：xy＝1，x
Байду номын сангаас
B 级 1． 64 2．1 提示：仿例 4，由条件得 x＝y，∴(x－ x2 2008 )2＝2 008，∴x2－2008－
专题 二次根式的化简与求值
例 1 A 提示：由条件得 4x2－4x－2 001＝0．
例 2
(1)原式＝
ab a b a b
b
b a
b
1 a
b
·
a
b b
＝2
ab
2 5 7 3 5 7
(2)原式＝
＝2 6 －5．
2 5 7 3 5 7
6 3 3 3 2
(3)原式＝
轴对称点 C1，连结 BC1 交 x 轴于 A 点．A 即为所求，过 B 作 BD⊥CC1 于 D 点，
∴AC＋AB＝C1B＝ 22 82 ＝2 17 ．
例 6 m＝
2
a 1 2
a 1 1 12
＋
2
a 1 2
a 1 1 12 ＝
2
a 11 ＋
2
a 1 1 ．∵1≤a≤2，∴0