倒立摆控制系统控制器设计实验报告
成员：陈乾睿 2220150423
郑文 2220150493
学院：自动化
倒立摆控制系统控制器设计实验
一、实验目的和要求
1、目的
（1）通过本设计实验，加强对经典控制方法（LQR控制器、PID控制器）和智能控制方法（神经网络、模糊控制、遗传算法等）在实际控制系统中的应用研究。

（2）提高学生有关控制系统控制器的程序设计、仿真和实际运行能力.
（3）熟悉MATLAB语言以及在控制系统设计中的应用。

2、要求
（1）完成倒立摆控制系统的开环系统仿真、控制器的设计与仿真以及实际运行结果
（2）认真理解设计内容，独立完成实验报告，实验报告要求：设计题目，设计的具体内容及实验运行结果，实验结果分析、个人收获和不足，参考资料。

程序
清单文件。

二、实验内容
倒立摆控制系统是一个典型的非线性系统，其执行机构具有很多非线性，包括：死区、电机和带轮的传动非线性等。

本设计实验的主要内容是设计一个稳定的控制系统，其核心是设计控制器，并在MATLAB/SIMULINK环境下进行仿真实验，并在倒立摆控制实验平台上实际验证。

算法要求：使用LQR以外的其它控制算法。

三、倒立摆系统介绍
倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。

倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。

由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的应用开发前景。

倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性：非线性，不确定性，耦合性，开环不稳定性，约束限制。

经过相关论文和文献的查询，我们决定采用模糊控制的方法进行倒立摆的控制。

四、倒立摆系统建模
在忽略了空气阻力、各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象为小车和匀质杆组成的系统，如下图4.1所示：
图4.1 单级倒立摆模型示意图
其中，小车质量M（kg），摆杆质量m（kg），小车摩擦系数b（N/m/sec），摆杆转动轴心到杆质心的长度l（m），摆杆惯量I（kg*m2），加在小车上的力F（N），小车位置x（m），摆杆与垂直向上方向的夹角φ（rad），摆杆与垂直向下方向的夹角θ（rad）。

图4.2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量，图示方向为矢量的正方向。

图4.2 倒立摆模型受力分析
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
即：
把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
力矩平衡方程如下：
合并这两个方程，约去P 和N，得到第二个运动方程：
设θ=φ+π（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ<<1，则可以进行近似处理：
用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：
对该式进行拉普拉斯变换，得到
注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：
或
如果令
则有：
把上式代入方程组的第二个方程，得到：
整理后得到传递函数：
其中
设系统状态空间方程为：
方程组对, 解代数方程，得到解如下：
整理后得到系统状态空间方程：
五、控制器设计
要控制倒立摆的稳定不仅要考虑摆杆的倒立平衡，同时要控制小车，使它稳定在期望的位置。

考虑到同时控制倒立摆的四个状态变量，如使用一个模糊控制，必然会使模糊控制规则复杂并且数目庞大。

因此把四个状态变量分为两组（位置与位置微分为一组，角度与角度微分为一组），以每组的两个变量作为输入变量进行分层模糊控制（位置模糊控制、角度模糊控制）。

1、位置模糊控制器设计
采用二维模糊控制器，以小车的位移e和速度误差ec作为该模糊控制器的输入，u为输出量。

其三个量的论域均采用{-6 -4 -2 0 2 4 6},采用常用的七级分割，表示为[NB NM NS ZE PS PM PB]，输入输出模糊化均采用三角形隶属度函数如下图5.1所示：
图5.1输入输出量的隶属度函数
模糊规则的推理采用Mamdani的max-min合成算法，输出量的解模糊化运算采用重心法，通过该模糊控制实现了小车的位移和速度的输入到虚拟角的输出，如表5-1。

表5-1 位置模糊控制器模糊规则表
在Simulink下搭建下该控制模块如图5.2所示：
图5.2 位置模糊控制器
2、角度模糊控制器设计
角度模糊控制器设计也采用二维模糊控制器模型，其设计原理与位置模糊控制器原理一致。

由于要求摆杆在角度为零时能够平衡倒立，故在零点附近分档较密，e的隶属度函数曲线和ec的隶属度函数曲线、u的隶属度函数曲线分别如图5.3、图5.4和图5.5所示：
图5.3 e的隶属度函数曲线
图5.4 ec的隶属度函数曲线
图5.5 u的隶属度函数曲线
其模糊规则表的建立与位置模块模糊规则表的建立方法一致，如表5-2所示：
表5-2角度模糊控制器模糊规则表
在Simulink下搭建下该控制模块如图5.6所示：
图5.6 角度模糊控制器
3、整体控制框图及结果
整体控制框图如图5.7所示，其中模糊控制器如图5.8所示。

图5.7 系统整体框图
图5.8 模糊控制器
结果图如5.9所示。

图5.9 位置和角度实时输出波形
六、实验心得
通过本次实验，让我们对一级倒立摆系统有了一定的了解，也让我们学会了如何使用Matlab的Simulink工具箱。

除此之外，我们还掌握了模糊控制和融合
函数的相关知识。

在调试的过程中，遇到了很多困难，比如倒立摆抖动剧烈，略微施加一个扰动量控制器就不能控制。

我们通过不断的修改模糊控制器的隶属度函数及模糊规则，通过不断的调试量化因子和比例因子，最后较为完美的解决了上述问题。

通过实验使我们收获颇丰，谢谢老师的指导。