单级倒立摆实验报告
1. 单级倒立摆系统的建模
单级倒立摆系统的建模可采用受力分析或Lagrange 方程建立得到。
这里采用受力分析方法建模。
如图所示：
根据牛顿第二定律：
(cos )0Mx m x L u θθ++-= (2-1) cos sin 0mLx
I mLg θθθ--= (2-2)
以摆杆偏角θ、角速度θ 、小车的位移x 和
小车速度x
为状态变量，即令： ()
T
X x x θθ=
(2-3)
同时假设倒立摆摆杆的垂直倾斜角度θ与1
（单位为rad ）相比很小，即1θ 。
则可以近似处理：cos θ≈1，sin 0θ≈，并
忽略高阶小量，则可得：
2222
()()m L g I
x u I m M mML I m M mML θ=+++++ （2-4）
22
()()()mL m M g mL
u I m M mML I m M mML
θ
θ+=-+++++ （2-5）
摆杆系统的状态方程为： 1222
2122
344122
()()()()()x x m L g I x x u I m M mML I m M mML
x x mL m M g mL x x u I m M mML I m M mML =⎧⎪⎪=+⎪++++⎨
=⎪⎪+=-+⎪++++⎩
（2-6） 写成向量的形式为：
X
AX Bu y CX Du ⎧=+⎨
=+⎩
(2-7)
其中
0100000A 00010
00a b
⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭, 00c B d ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,10000010C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,00D ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2-8） 参数a 、b 、c 、d 分别为：
222()m L g
b I m M mML =
++ （2-9）
2
()()mL m M g
a I m M mML +=-
++
（2-10）
2
()I
c I m M mML =
++ （2-11）
2
()mL
d I m M mML =++
（2-12）
选择摆杆的倾斜角度θ和小车的水平位移x 作为系统的输出，则输出方程为：
y CX = (2-13)
根据金棒-2型倒立摆系统实验平台的参数，m=0.2kg ，M=0.6kg ，L=0.158m ，I=0.001654kg.m 2 ，g=10N/kg.同时，这里建模时候使用的ｕ是以力作为输入信号的，实际上采用的是以电压作为输入信号，通过电机作了一定的转化，这里我们约定：先暂时以力作为输入信号，最后再统一处理。
则有，a=2.3121，b=-58.5337，c=0.3830，d=7.3167。
因此，010000 2.31210A 00010058.53370⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,00.383007.3167B ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
2. 全状态反馈设计 2.1. 检验系统可控性
可控性矩阵纯ctrB=105
*0
00.00020.005300.00020.00530.148200.0001-0.00310.09370.0001-0.00310.0937 2.5164-⎡⎤⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
显然rank(ctrB)=4,系统可控. 2.2. 反馈设计
要求：稳定调节时间3s n
t s π
ξω=
<，摆角5θ< ，(5/90100) 5.56p σ<⨯= ，
p e
σ=得0.47ξ>，=0.707ξ取,则
1.483n π
ωξ
>
=，取4n ω=，则可取主导极点为
1,2n p j ξωω=-±1,22p j =-±选择远极点使得其距原点距离
大于15p ，在此取3415=20p p =，，因此希望的极点为1,22p j =-±3,420p =-。
设计反馈后特征式:(+20)(+20)(22s s s j s j ∆=+-++，同时与
det ()sI A BK --特征式各系数进行比较可得K=[162.7 56.9 62.2 3.0 ]. 因此得到控制量-162.756.962.2 3.0KX x x μθθ==+++ .以上可以用Matlab 编程实现，源程序为：
A=[0 1 0 0; 0 0 2.3121 0;0 0 0 1;0 0 -58.5337 0]; B=[0;0.3830;0;7.3167]; C=[1 0 0 0;0 0 1 0]; D=[0;0]; G=ss(A,B,C,D);
P=[-2+j*2*sqrt(3),-2-j*2*sqrt(3),-20,-20]; K=acker(A,B,P); A=A-B*K; Gk=ss(A,B,C,D); t=[0:0.1:10];
impulse(G,t); hold on ; impulse(Gk,t); grid;
开环响应
全状态反馈响应
可见在脉冲输入下可以获得良好的控制特性：倒立摆在2s稳定在了平衡位置，摆角θ的最大摆幅1.1%，小车位置偏离平衡位置6%，满足设计要求。
当在小车上施加1m 的阶跃信号时，闭环系统的响应如下图：
可见响应满足下列指标
(1) 杆角度θ和小车位移x的稳定时间小于3秒
(2) x的上升时间小于1秒
(3) θ的超调量小于1度（0.35弧度）
(4) x的稳态误差小于0.5%.。