第3章 力学量用算符表达习题3.1 下列函数哪些是算符22dxd 的本征函数，其本征值是什么？①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +解：①2)(222=x dxd∴ 2x 不是22dxd 的本征函数。

② x xe e dxd =22∴ xe 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为1。

③x x dx dx dxd sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。

④x x dx dx dxd cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。

⑤)cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x xx x x dxd x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。

3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπαψ22022),(--=，求：(1)势能的平均值2221x V μω=； (2)动能的平均值μ22p T =.解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x V x2222222121απαμωμωμωμωαμωαπαπαμω ⋅==⋅=22222241212121221 ω 41=(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dxd e x x22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα ][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα ]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

① 2224dx d x ； ② []2； ③ ∑=Nk 1解：①2224dx d x 是线性算符φϕϕϕφϕ22222221222212222122244 )(4)(4)(4 dxdx c dx d x c c dx d x c dx d x c c dx d x ⋅+⋅=+=+ ②[]2 不是线性算符222122221221221][][ 2][ φϕφϕφϕϕϕc c c c c c c c +≠++=+③∑=Nk 1是线性算符∑∑∑∑∑=====+=+=+Nk N k N k N k N k c c c c c c 12111211121φϕφϕϕϕ习题3.4指出下列算符哪个是Hermite 算符，说明其理由。

①dx d，②dxd i ，③224dx d解： ①00 →→±∞→φψ，，当x⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞∞∞-≠-=-=-=dxdxddx dx ddx dx d dx dx d dx dxd *)( *)( * * * *-φψφψφψφψφψφψ∴dxd不是Hermite 算符 ②⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞∞∞-=-=-=dx dxdidx dxdi dx dx d i i dx dx d i*)( *)( * * * -φψφψφψφψφψ∴dxdi 是Hermite 算符 ③⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞∞∞-=-=+=-=-=dxdxd dx dx d dx dx d dxd dx dx d dx d dx dx d dx d dx d dx dxd *)4( *4 * 4*4 *4 *4 *4 4* 222222-22φψφψφψφψφψφψφψφψ∴224dxd 是Hermite 算符习题3.5一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是IL H 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：① 转子绕一固定轴转动； ② 转子绕一固定点转动。

解：(1)设该固定轴沿Z 轴方向，则有 22Z L L =哈米顿算符 22222ˆ21ˆϕd d I L I H Z -== 其本征方程为 (t H与ˆ无关，属定态问题) )(2)( )()(2222222ϕφϕϕφϕφϕφϕIEd d E d d I -=⇒=- 令 222 IE m =，则： 0)()( 222=+ϕφϕϕφm d d 取其解为 ϕϕφim Ae =)( (m 可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有ϕπϕϕφπϕφim im e e =⇒=++)2()()2( 即 12=πm i e ∴m= 0，±1，±2，…转子的定态能量为Im E m 222 = (m= 0，±1，±2，…)可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。

其定态波函数为 ϕφim m Ae = A 为归一化常数，由归一化条件ππϕϕφφππ2121 220220*=⇒===⎰⎰A A d A d m m∴ 转子的归一化波函数为： ϕπφim m e 21=综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。

(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为： 2ˆ21ˆL IH= t H与ˆ无关，属定态问题，其本征方程为： ),(),(ˆ212ϕθϕθEY Y L I= (式中),(ϕθY 设为Hˆ的本征函数，E 为其本征值) ),(2),(ˆ2ϕθϕθIEY Y L= 令 22 λ=IE ，则有： ),(),(ˆ22ϕθλϕθY Y L= 此即为角动量2ˆL的本征方程，其本征值为： ) ,2 ,1 ,0( )1(222 =+==λL其波函数为球谐函数： ϕθϕθim mm m e P N Y )(cos ),( =∴ 转子的定态能量为： 2)1(2IE +=可见，能量是分立的，且是)12(+ 重简并的。

习题3.6 利用式（3.12）求出例题3.5中的展开系数。

解：依题意，有)(210))()((21)(0)3sin 2sin 2(21)(0cos sin 4)(3131**2*n n n n n n a dx x x x a dxa x a a x a x a dx a x a x a x c δδψψψππψππψ+=+=+=⋅=⎰⎰⎰ 即：21,2131==c c ，其他为零习题3.7 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数()()⎩⎨⎧><≤≤-=a x x a x x a Ax x ,0,00),()(ψ描写，A 为归一化常数，求粒子能量的概率分布和平均值。

解：由波函数)(x ψ的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。

粒子能量的本征函数和本征值为）， 2,31(ax 0, x ,0a x 0,sin 2)(=⎪⎩⎪⎨⎧><<≤=n x a n a x n πψ22222a n E n μπ = ) 3 2 1( ，，，=n先将)(x ψ归一化： ⎰⎰⎰+-=-==∞∞-aadx x ax a x Adx x a x A dx x 02222222)2()()(1ψ⎰+-=adx x ax x a A43222)2(30)523(525552a A a a a A =+-=∴530aA =()()⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-=a x x a x x a x a x ,0,00),(30)(5ψ将)(x ψ按能量的本征函数展开，展开系数为⎰-⋅⋅=an dx x a x x a n a a C 05)(sin 302π]sin sin [1520203x xd a n x x xd a n x a aa a ⎰⎰-=ππax a n n a x a n x n a xa n x n a x a n n a x a n x n a a 0333222222323]cos 2sin 2 cos sin cos [152ππππππππππ--++-=])1(1[15433n n --=π∴ 2662])1(1[240)(n nn C E --==πω ⎪⎩⎪⎨⎧=== ,6 ,4 ,205 3 196066n n n ，，，，，π⎰⎰==∞∞-adx x p x dx x H x E 02**)(2ˆ)()(ˆ)(ψμψψψ ⎰--⋅-=adx x a x dx d x a x a2225)](2[)(30μ )32(30)(303352052a a a dx x a x a a-=-=⎰μμ 225a μ = 或：224422440222661222212596480)12(9602])1(1[2402||a a k a n a n C E E k n n n n n μππμπμπμπ ==+=--==∑∑∑∞=∞=∞=（利用了 96)12(144π=+∑∞=k k ） 习题3.8 证明：①z x y y x y ,x L ˆi L ˆL ˆL ˆL ˆ]L ˆL ˆ[ =-=，0]L ˆL ˆ[2,x = ②222],[p i p p r=⋅，)()](,[r V r i r V p r ∇⋅-=⋅证明： ①]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆˆ[]ˆˆ[,z y x y z z x z z x y z y x p x p z p z p z p x p y p z p y p x p z p z p y L L +--=--= zy x L i p x i p y i ˆˆˆ =+-= 0ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ]ˆˆ[]ˆˆ[ˆˆ]ˆˆ[]ˆˆ[ˆ]ˆˆ[]ˆˆ[]ˆˆˆˆ[]ˆˆ[,,,,,,,,2,2,222,2,=--+=+++=+=++=z y y z y z z y z z x z x z y y x y x y z x y x z y x x x L L i L L i L L i L L i L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ②222222222],[2],[],[],[],[xx x x x x x z y x x x p i p p x p p x p xp p p p xp p xp ====++= 同样可求得222],[y y p i p yp =，222],[z z p i p zp =所以 2222222)(2],[],[p i p p p i p zp yp xp p p r z y x z y x =++=++=⋅ )()](,[))(()())(()](,[r V r i r V p r r V r i r r V i r V r i r V p r∇⋅-=⋅⇒∇⋅-=∇⋅+∇⋅-=⋅ψψψψ 习题3.9 证明在中心势场中0]ˆ,ˆ[=H L ，0]ˆ,ˆ[2=H L 证明：在中心势场中，球坐标系下)(2ˆ)(2ˆ22222r V r L r r r r H ++∂∂∂∂-=μμ]sin 1)(sin sin 1[ˆ22222ϕ∂∂θ+θ∂∂θθ∂∂θ-= L⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ϕ∂∂-=ϕ∂∂ϕθ-θ∂∂ϕ-=ϕ∂∂ϕθ+θ∂∂ϕ= i L ctg i L ctg i L z yxˆsin (cos ˆ)cos (sin ˆ 事实上，在球坐标系中，角动量及其分量的算符表达式与径向坐标r 无关，故zyxL L L Lˆ,ˆ,ˆ,ˆ2与H ˆ的第一、三项也都是对易的，从而有 0]ˆ,ˆ[=H L，0]ˆ,ˆ[2=H L 习题3.10 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0==θe er J J2sin m n e r m e J ψθμϕ=证：电子的电流密度为)(2**m n m n m n m n e i e J e J ψψψψμ∇-∇-=-= ∇在球极坐标中为ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r e e r r e r 式中ϕθe e e r、、为单位矢量])sin 11( )sin 11([2**m n rm n mn r m n e r e e r r e r e e r r e i e J e J ψϕθθψψϕθθψμϕθϕθ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-=-=)]sin 1sin 1()1 1()([2******m n mn m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n r r r e r r e r r e ie ψϕψθψϕψθψθψψθψψψψψμϕθ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂-=m n ψ中的r 和θ部分是实数。