江西省南昌大学附属中学11—12学年上学期高一期末考试数学试卷
（2012.1.6 上午7：30—9：30）
（总分：150分 时间：120分钟）
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一 、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{}{}
|1,|21x
M x x N x =<=>,则M
N =（ ）
A ．∅
B ．{}|0x x <
C ．{}|1x x <
D ．{}|01x x << 2.sin17sin 223cos17sin313-等于 （ ）
A ．1
2-
B ．12
C ．2
D 2
3.如果幂函数(
)
22
2
33m m y m m x
--=-+的图像不过原点，则m 的取值范围是（ ）
A ．12m -≤≤
B ．1m =-或2m =
C ．1m =
D ．1m =或2m =
4.要得到22sin(2)3y x π=+的图像, 需要将函数22sin(2)3
y x π
=-的图像（ ） A 向左平移23π个单位 B 向右平移23
π
个单位
C. 向左平移
3π个单位 D 向右平移3
π
个单位 5.锐角α满足1
sin cos 4
αα⋅=
，则tan α的值是（ ）
A ．2
B ．2
C
D ．2
6.函数()cos22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1
B. －2，2
C. －3，
32
D. －2，
32
7.若ABC ∆的内角A 满足sin cos 0,tan sin 0A A A A +>-<，则角A 的取值范围是（ ）
A ．0,
4π⎛⎫
⎪⎝
⎭ B ．,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ C ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,4ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
8.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34
ππ
-上的最小值是2-，则ω的最小值为
（ ） A ．
23 B ．3
2
C ．2
D ．3 9.动点(),A x y 在圆2
2
1x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。

已知
时间0t =时，点A
的坐标是1(,22
，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的
函
数
的
单
调
递
增
区
间
是
（ ） A. []0,1
B. []1,7
C.[]7,12
D.[]0,1和[]7,12
10.设曲线x b x a x f sin cos )(+=的一条对称轴为5
π
=x ，则曲线)10
(
x f y -=π
的一个对
称点为（ ） A.⎪⎭⎫
⎝⎛-
0,5π B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,103π C. ⎪⎭⎫
⎝⎛0,52π D. ⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,107π
第II 卷（非选择题, 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
11.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为 弧度, 扇形面积是 12.()()1tan 25
1tan 20++=
13.已知函数3,1
(),,1
x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()2f x =，则x =
14.
())1sin cos sin
cos
0α
ααααπ⎛⎫
++- ⎪<<=_________
15.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①()1sin cos ,f x x x =+ ②()2sin
f x x =，③
()3f x
x =,④
()4cos ),f x x x +其中“同形”函数有 ．(填序号)
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）
已知1411)cos(,71cos -=+=βαα，且)2
,0(,π
βα∈，求β的值.
17.（本小题满分12分）
已知函数)
2
sin()
42cos(21)(π
π
+
-
+=
x x x f .
（1）求)(x f 的定义域；
（2）若角α在第一象限且5
3
cos =
α，求)(αf 的值.
18.（本小题满分12分）
已知二次函数2
()163f x x x q =-++： (1) 若函数的最小值是-60，求实数q 的值；
(2) 若函数在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知定义在区间2[,]3
ππ-上的函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><≤的图像关于直线6
x π
=-
对称，当2[,]63
x ππ
∈-
时，)(x f 的图像如图所示.
（1）求()f x 在2[,]3ππ-上的表达式；
（2）求方程()2
f x =的解.
20.（本小题满分13分）
已知函数2()2sin ()24f x x x π=+，[,]42
x ππ
∈.
（1）求函数()f x 的单调区间和最值； （2）若不等式()2f x m -<在[,]42
x ππ
∈上恒成立，求实数m 的取值范围.
21.（本小题满分14） 设函数()()2
221
()log log 1log .1
x f x x p x x +=+-+-- （1）求函数的定义域；
（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由.
答 案
一、选择题：
DBDAD CCBDC 二、填空题：
11．
3,482
12. 2 13．3log 2 14．cos α- 15．①③ 三、解答题：
16. .3
πβ=
17．解：（1）由0)2
sin(≠+
π
x ，得0cos ≠x ，)(2
Z k k x ∈+
≠∴π
π;
故)(x f 的定义域为},2
|{Z k k x x ∈+≠π
π
（2）由已知条件得5
4)53
(1cos
1sin 22
=
-=-=αα； 从而)2
sin()42cos(21)(παπαα+-+=
f ＝απ
απαcos )
4sin 2sin 4cos 2(cos 21++ ＝α
α
αααααcos cos sin 2cos 2cos 2sin 2cos 12+=++＝)sin (cos 2αα+＝514
18．（Ⅰ）
()()min 861601;
f x f q q ==-+=-∴=
（Ⅱ）∵二次函数2()163f x x x q =-++的对称轴是8x = ∴函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减
∴要函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点须满足(1)(1)0f f -⋅≤ 即 (1163)(1163)0q q +++⋅-++≤ 解得 2012q -≤≤
19．解：（1）由图知：1A =，242,36T πππ⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
，则21T πω==， 在2,63x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时，将,16π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入()f x 得，sin 1,0,,663f πππϕϕπϕ⎛⎫⎛⎫
=+=<≤∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴在2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()sin .3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
同理在,6x ππ⎡
⎤
∈--
⎢⎥⎣
⎦
时，()()sin .f x x π=+
综上，()()2sin ,,,363sin ,,.
6x x f x x x ππππππ⎧⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦
=⎨⎡⎤⎪+∈--⎢⎥⎪⎣⎦⎩
（2）由(
)f x =
在区间2,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
内可得()125,.1212x x y f x ππ==-=关于
6
x π
=-
对称，(
)343,.4
42
x x f x π
π∴=-
=-
∴=
得解为35,,,.441212ππππ--- 20
21．解：（1）由101100
x x x p x +⎧>⎪-⎪->⎨⎪->⎪⎩
解得1
x x p >⎧⎨<⎩①
当1p ≤时，①不等式解集为∅；
当1p >时，①不等式解集为{}
()1,x x p f x <<∴的定义域为()()1,1.p p >
（2）原函数即()()()()22
2211log 1log 24p p f x x p x x ⎡⎤
+-⎛⎫=+-=--+⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当1
1,2
p -≤即13p <≤时，函数()f x 既无最大值又无最小值； 当1
1,2
p p -<<即3p >时，函数()f x 有最大值()22log 12p +-，但无最小值。