数学物理方程小结
第七章 数学物理定解问题
数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛
定方程）和定解条件。
§7.1数学物理方程的导出
一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中
的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律,
抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。
（在数学上为忽略高级小量.）
第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式
表示出来, 此表示式即为数学物理方程。
（一） 三类典型的数学物理方程
（1）波动方程： 0
:),(:),(:22222222==∂∂-∂∂=∆-∂∂→f 当无外力时t x f x
u a t u 一维t r f u a t
u 三维 此方程 适用于各类波动问题。
（特别是微小振动情况.）
（2）输运方程： 0
:).(:),(:2222==∂∂-∂∂=∆-∂∂→f 无外源时t x f x
u a t u 一维t r f u a t
u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。
（3）Laplace 方程： .
0(:0
:).程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==∆=∆→
稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace
方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。
§7.2定解条件
定解条件包含初始条件与边界条件。
（1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数
的次数。
例如波动方程应有二个初始条件, 一般
选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。
而输
运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）,
而Laplace 方程没有初始条件。
（2） 三类边界条件
第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1）
第二类边界条件： u n |Σ = f （2）
第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3）
其中H 为常数.
7.3 二阶线性偏微分方程分类
判别式 ,
,0,,0,,0221121222112122211212抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=∆<-=∆>-=∆
波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯
方程为椭圆型的.
7.4 达朗贝尔公式
对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为
对半无界问题作延拓处理:
对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.
第八章分离变量法
8.1分离变量法
主要步骤:
1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的. •
2.分离变量u(x,t) =X(x) T(t) （1）[以后对三维问题也是如此]
•3. 将（1）式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程, (称为本征方程) 而λ为本征值.
•4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)
•5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解.
•6.再由初始条件确定系数.
一维波动方程在第一类齐次边界条件下的
一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:
一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解:
()()⎰∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞=l n t l a n n n d l
n l c l
x n e
c t x u 01
sin 2,sin ,2ξπξξϕππ
一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解:
()()()⎰⎰∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞=l n l t l a n n n d l
n l c d l c l x n e
c t x u 0000
cos 2,1,cos ,2ξπξξϕξξϕππ
对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而
对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解.
8.2 非齐次边界条件的处理
常用方法有 1) 直线法 :
对边界条件为: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t) .
令 ()()()()()x L
t g t h t g t x u t x v ---=,, ,可把边界条件化为齐次,但一般情况下方程变为非齐次. •只有当g,h 为常数时,方程
才不变.
2) 特解法
•把 u 化为两部分,令 u=v+w 使v 满足齐次边界条件与齐次方程,而
使w 满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法.
• 例题 求解下列定解问题
• U tt －a 2 U xx = 0 • U|x=0 =0, U|x=L = ASin ωt
• U|t=0 = 0 , U t ∣t=0 = 0
•( 其中A 、ω为常数, 0＜x ＜L , 0＜ t ）
•解：令 u=v+w ,使w 满足波动方程与非齐次边界条件,
•得出 ()
a l
t a x A t x w ωωωsin sin sin ,..第九章 二阶常微
分方程的级数解法
本征值问题一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯
方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.
1. 拉普拉斯方程在球坐标下的通解:
其中Y lm 为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下
的解不依赖于边界条件.
在轴对
称时(1)式退化为()()()∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=012,cos ,l l l l l l P r B r A r u θθ 2. 拉普拉斯方程在柱坐标下:
(5)式其解为m 阶Bessel 函数,
解依赖于边界条件,当侧面边界条件是齐次时,
μ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.
3. 亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变
量结果.
在球坐标下: ()()()ϕϑϕϑ,,,Y r R r u =
其中Y 为球函数,R 为球贝塞尔函数. 在柱
坐标下: . ()()()()()
()()()
()()()()
()5.0:4,;
4.01.3.022,1,0,sin cos 1.,,22222222222222''2=-++=-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=+==+=ΦΦ=R m x dx dR x dx R d x 式为今x k 令R m k d dR d R d Z Z m m m b m a z Z r R z u ρμνμρνρρρνλϕϕϕϕϕρΛ (5)式其解为m 阶Bessel 函数,
二、常微分方程的级数解法
1. 掌握常点邻域的级数解法.
2. 掌握正则奇点邻域的级数解法.
3.知道无穷级数退化为多项式的方法.
三. 知道Sturm-Livouville 本征值问题的共同性质
•当k(x),q(x)和ρ(x)都只取非负的值(≥0), Sturm-Livouville 方
程共同性质为:
•1)当k(x),k ’(x)和q(x)连续且x=a 和x=b 最多为一阶极点时,
存在无限多个本征值及对应的本征函数:
()()()()ΛΛΛ
Λx y x y x y x y k k 321321,,≤≤≤≤≤λλλλ
••2)所有本征值λn ≥0 •3)对应于不同本征值的本征函数带权正交
()()()()m n dx x x y x y b
a n
m ≠=⎰,0ρ•4)本征函数族构成完备系 第九章 球函数
一、 对称的球函数
当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴
为z 轴这时物理量u 就与φ无关,m=0.
那末球函数Y(θ,φ)就为L 阶勒让德多项式.即Y=P l (cos θ)
1) 勒让德多项式
1. 勒让德多项式级数形式:
2. 勒让德多项式微分形式:
3.前几项为:
P 0(x)= 1, P 1(x) =x=cos θ,
•P 2(x)=(3x 2
-1)/2, …..
•一般勒让德多项式的幂次取决L
•当L 为偶数时都为偶次幂项,L 为奇数时都为奇次幂项. 对特
殊点x=1,0.
•4.勒让德多项式正交关系 ()lk l k l N dx x P x P δ21
1
)(=⎰- (3)
•5.勒让德多项式的模 1
22,1222+=+=l N l N l l (4) •
6.广义傅里叶级数 :当f(x)在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1
有限时. ()()
()(),21211
1⎰∑-∞=+==dx x P x f l f x P f x f l l l l l (5) •7.在球坐标下Laplace 方程: △u= 0的通解为:
(6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条
件,r=0与r →∞,球内解包含r=0,
•u 有限, ()∑∞
===0cos ,0l l l l l P r A u B θ (7)
•而A l 由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球
面的边界条件与r →∞, 两个条件确定.
8. 母函数
()∑∞
==+-02cos cos 211
l l l P r r r θθ (8)
9. 递推公式
二.连带勒让德函数
•在一般情况下,物理量u 与φ有关,故球函数Y 是连带勒让德
函数与周期函数的乘积.
1. 连带勒让德函数
()[]()x P x m l m 221-=Θ (1)
2.连带勒让德函数的微分表示
()()
.1!21222l m l m l l m m l x dx d l x P --=++ (2) 从(2)可得当L 一定时,m 的取值为 m=0,1,2…L.共有L+1个值.3.正交关系
•.
.。