无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩ 解()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t t x y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩在球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩L 21()1()(,)44M Mat r S S M M u M t dS dS a t r a rϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰乙 (r=at)221()1()(,)44M Mat atS S M M u M t dS dS a t t a tϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰乙无界三维空间自由振动的泊松公式()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩L 2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩22000011(,,)22at at u x y t a t a ππθθππ⎡⎤⎡⎤∂=+⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 傅立叶变换1()()2i x f x f e d λλλπ+∞-∞=⎰%基本性质[]1212[][]F f f F f F f αβαβ+=+1212[][][]F f f F f F f *=12121[][][]2F f f F f F f π=* [][]F f i F f λ'= ()[]()[]k k F f i F f λ=[][]d F f F ixf d λ=- 1[()]d ixf F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--=00[()]()i x F e f x f λλλ=-%..1[()][()]x F f d F f x i ξξλ-∞=⎰.0.[)]1i xi xx F x x edx eλλδδ∞--=-∞===⎰（（） ()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞---∞-=-=⎰1[()]()F f ax f a aλ=% 若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=-[]12()F πδλ= 22242ax aF e e λπ--⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭1cos ()21sin ()2ia iaia ia a e e a e e i --=+=- cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-2x edx +∞--∞=⎰拉普拉斯变换()()sx f s f x e dx +∞-=⎰%[]Re Re ax cL ce p a p a=>-21[]L x s=()()i x f f x e dx λλ+∞--∞=⎰%21[]()x L e x s ββ-⋅=+ []22sin kL kt s k =+[]22cos sL kt s k ==+ []22[]2ax ax e e aL shax L s a --==- Re Re s a >[]22[]2ax ax e e sL chax L s a-+==+ Re Re s a > 基本性质[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦%%%% [()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥0[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=-->%1[()](),(0)sL f cx f c c c=>% ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----L..01[()][()]xL f d L f x sττ=⎰ [][()]nn n d L f L x f ds=- ..()[]pf x fs ds L x∞=⎰%（） 1212[][][]L f f L f F f *=[()]()1sx L x x e dx δδ+∞-==⎰三个格林公式 高斯公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：V SP Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 或()()()cos ,cos ,cos ,V SP Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò第一格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在S ŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r r r Ò第二格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在S ŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰r r r Ò第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r nn r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰Ò 定理1：泊松方程洛平问题(,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SSS u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续） 的解为： 011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰Ò 推论1：拉氏方程洛平问题0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰Ò 调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S U 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆= 称u 为V 上的调和函数。

2、调和函数的性质。

性质1 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有 0SudS n∂=∂⎰⎰Ò推论2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解）0xx yy zz S u u u u u nϕ∆=++=⎧⎪⎨∂=⎪∂⎩有解的充分必要条件是：0S dS ϕ=⎰⎰Ò 性质2 设u(x,y,z) 是区域V 上的调和函数，则有 :0111()4S u u M u dS r n n r π⎡∂∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰Ò 性质3 : 设u(x,y,z)是区域V 上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即:021()()4RS u M u M dS R π=⎰⎰Ò 其中S R是以M 0为球心,R 为半径的球面三维空间中狄氏问题格林函数 泊松方程狄氏问题为：(,,),(,,)(,,),(xx yy zz SSu u u u f x y z x y z V u x y z ϕ∆=++=∈⎧⎪⎨=⎪⎩连续） 0000(,)()(,)(,)S VG M M u u M G M M u dS G M M fdV n n ∂∂⎡⎤=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰Ò其中：001(,)(,,)4MM G M M v x y z r π=- 如果G(M,M 0)满足：0(,)0S G M M = 则可得泊松方程狄氏解定理 定理：泊松方程狄氏解为：000(,)()()(,)()S VG M M u M M dS G M M f M dV n ϕ∂⎡⎤=--⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰Ò 其中G(M,M 0)满足：0000(,)(),(,)0S S G M M M M M M V G M M δ∆=--⎧⎪∈⎨=⎪⎩L00MM 1G(M,M )=4r π 推论：拉氏方程狄氏解为：00(,)()()S G M M u M M dS n ϕ∂⎡⎤=-⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰Ò 平面中的三个格林公式 首先证明一个定理：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且f(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，则：2222D Lf f fdxdy ds x y n ⎛⎫∂∂∂+= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰Ñ (1) 第一格林公式设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且u(x,y),v(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，则：()DLvu v u v dxdy uds n∂∇∇+∆=∂⎰⎰⎰r rg Ñ (2) 第二格林公式()()lDu v v u dS u v v u dxdy ∇-∇=∆-∆⎰⎰⎰r r r g Ñ(3) 第三格林公式设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，且u(x,y)在D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，令： 011(,)ln2MM v x y r π=000111111()lnln ln 222MM MM LDu u M u dS ud r n n r r σπππ⎡⎤⎛⎫∂∂=⋅--∆⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰i 定理：平面泊松方程洛平问题(,),(,)(,),(,)L L u f x y x y Du u x y x y n ϕψ∆=∈⎧⎪∂⎨==⎪∂⎩的解为： 000111111()ln ln ln(,)222MM MM LDu M dS f x y d r n r rψϕσπππ⎡⎤⎛⎫∂=--⎢⎥ ⎪ ⎪∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰i 推论：平面拉氏方程洛平问题0,(,)(,),(,)LL u x y D u u x y x y n ϕψ∆=∈⎧⎪∂⎨==⎪∂⎩的解为： 0001111()ln ln 22MM MM Lu M dS r n r ψϕππ⎡⎤⎛⎫∂=-⎢⎥ ⎪ ⎪∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰i 定理：平面泊松方程狄氏问题的解为：0()(,)LDGu M dS Gf x y d n ϕσ∂=--∂⎰⎰⎰i 推论：平面拉氏方程狄氏解为：0()LG u M dS n ϕ∂=-∂⎰i平面狄氏格林函数0000(,)(),(,)0S L G M M M M M M D G M M δ∆=--⎧⎪∈⎨=⎪⎩L 00MM 1G(M,M )=lnr 2π 特殊区域上狄氏问题格林函数 1．球形域内狄氏问题格林函数00222200(,)()(,)(,)0S G M M M M x y z R M V G M M δ∆=--⎧⎪++≤∈⎨=⎪⎩L 格林函数为：00011111(,)44R G M M r r r r r ππ=---r r r r r 其中： 20100r R r r r =rr g r r球域内狄式问题的解()0002200322200(,)()()(,)()1()(,)()42cos S VS V G M M u M M dS G M M f M dV n R r M dS G M M f M dV RR r Rr ϕϕπγ∂⎡⎤=--⎢⎥∂⎣⎦⎡⎤-⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰g ÒÒ 其中：()220322200142cos SSR r GG nrRR r Rr πγ-∂∂==-∂∂+-g球域上狄氏问题的解的球坐标表达式sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩L 所以：()()()22222003322222200001(),,sin 442cos 2cos S R r R r R M dS R d d R R r Rr Rr Rr ππϕϕθϕθθϕππγγ⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎰⎰⎰⎰g Ò2．上半空间狄氏问题的Green 函数()0000,,,(0)z G x x y y z z z G δ=∆=---->⎧⎪⎨=⎪⎩012(,)G M M u u =+⎡⎤⎡⎤010003331144MM MM z z z z z G G n z r r ππ⎡⎤-+∂∂=-=-=-⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：()()()000..003..2222000(,)()(,),1(,,)(,)2S V VG M M u M dS G M M fdV n x y z dxdy f x y z G M M dxdydzx x y y z ϕϕπ+∞+∞-∞-∞∂⎡⎤=--⎢⎥∂⎣⎦=-⎡⎤-+-+⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：()()()()..00003..2222000,1,,2x y z u x y z dxdy x x y y z ϕπ+∞+∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦⎰⎰3．上半平面狄氏问题的Green 函数0101111(,)22MM MM G M M Ln Lnr r ππ=- G Gn y∂∂=-∂∂ 0220011[2()L y y G ny x x y ππ=∂∂=--=-∂∂-+上半平面上泊松方程狄氏解022001()(,)()(,)()LDDy G u M dS Gf x y d x dx Gf x y d n x x y ϕσϕσπ+∞-∞∂=--=-∂-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰i 上半平面上拉氏方程狄氏解022001()()()y u M x dx x x y ϕπ+∞-∞=-+⎰4．圆域上泊松与拉氏方程狄氏解的GREEN 函数02220(,),()0L G M M M M D x y R G δ∆=-⎧⎪∈+≤⎨=⎪⎩ 101000111111(,)ln ln ln ln 2222MM M M MM M M r R G M M r r r r ππππ=-=- 圆域上泊松与拉氏方程狄氏解0222200()()(,)1()(,)22cos LDLD Gu M dS Gf x y d n R r dS Gf x y d R R Rr r ϕθσϕθσπγ∂=--∂-=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰i i5．第一象限上狄氏问题的Green 函数01230222200002222000011111111(,)ln ln ln ln 2222()()()()1ln 4()()()()MM MM MM MM G M M r r r r x x y y x x y y x x y y x x y y πππππ=--+⎡⎤⎡⎤++--++⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤-+-+++⎣⎦⎣⎦三种典型方程的基本解问题1． 泊松方程的基本解方程(,,)u x y z δ∆=-的解称为泊松方程(,,)u f x y z ∆=-的基本解。