数学物理方程总结 Revised by Jack on December 14,2020浙江理工大学数学系第一章：偏微分方程的基本概念偏微分方程的一般形式：2211(,,,,,,)0n uu u F x u x x x ∂∂∂=∂∂∂ 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线性PDE 和完全非线性PDE 。

二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）：2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂ （一般形式 记为 PDE （1））目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩非奇异 0x yx yξξηη≠根据复合求导公式最终可得到：2221112222220u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂其中： 考虑22111222()2()0z z z za a a x x y y∂∂∂∂++=∂∂∂∂如果能找到两个相互独立的解 那么就做变换(,)(,)x y x y ξφηψ=⎧⎨=⎩ 从而有11220A A ==在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222()2()0z z z z a a a x x y y∂∂∂∂++=∂∂∂∂ (1)的特解，则关系式(,)x y C φ=是常微分方程：22111222()2()0a dy a dxdy a dx -+= （2）的一般积分。

主引理2：假设(,)x y C φ=是常微分方程（2）的一般积分，则函数(,)z x y φ=是（1）的特解。

由此可知，要求方程（1）的解，只须求出常微分方程（2）的一般积分。

常微分方程（2）为PDE （1）的特征方程，（1）的积分曲线为PDE （1）的特征曲线。

22111222()2()0a dy a dxdy a dx -+=11dydx= 记2121122(,)x y a a a ∆=- 则： 一维的波动方程：22222(,)(0,0)u u a f x t x L t t x ∂∂=+<<>∂∂一维的热传导方程222(,)(0,0)u u a f x t x L t t x ∂∂=+<<>∂∂高维的情况只需要把22ux∂∂改为laplace 的形式即可。

数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件就构成了定界问题。

根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类：初值问题（Dirichlet ）：定解条件仅有初值条件 边值问题（Neumann ）：定解条件仅有边值条件混合问题（Rbin BC ）：定解条件有初值条件也有边值条件数学物理方程的解：如果一个函数在某一自变量的取值区域内有所需要的各界连续的导函数，并且带入数学物理方程使方程成为等式，称此函数为在该取值区域方程的解。

定界问题的适定性：如果一个定解为题的解存在，唯一且稳定，就称这个定界问题是适定的；反之，若有一个性质不满足，则称这个定界问题是不适定的。

所谓界存在，是指定解问题至少有一个解。

如果一个定界问题的解不存在，这个问题就完全失去了意义，但定界问题反应的是客观物理实际，在实际问题中解释存在的。

若定解问题的解不存在，说明所建立的定界问题是错误的，可能是在推导过程中有非次要因素被忽略掉了，导致泛定方程错误，还有可能定解条件给错了等。

这就需要重新考虑定解问题的提法。

解的唯一性从物理意义上讲是显然的，如果解存在但不唯一，将无法确定所求解是否是所需要的，当然也无法求近似解。

这表明问题的提法还不够确切，需要进一步分析。

所谓解的稳定性，是指当定解问题有微小变动时，解是否相应地有微小的变动，如果是这样，该解就是稳定的解；否则所得的解就没有实用价值，因为定解条件通常是利用实验方法所获得的，因而所得到的结果有一定的误差，如果因此导致解的变动很大，那么这种解显然不符合客观实际的要求。

而我们多学的定解问题都是经典问题，他们的适定性都是经过证明了的。

第二章：分离变量法分离变量法的主要思想:1、将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常微分方程；2、运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程；3、利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解；4、最后将这些通解“组装”起来。

分离变量法是求解偏微分方程最基本最常用的方法。

主要根据的理论依据是线性方程的叠加原理和Sturm-Liouville 理论。

最核心的思想是将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解。

下面就有界弦的自由振动的定解问题讨论观察注意其特点是： 方程齐次, 边界齐次.端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。

两列反向行进的同频率的波形成驻波。

驻波的特点： (1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为()T t (2) 各点振幅随点而异，而与时间无关，用 X(x) 表示,所以驻波可用 ()()X x T t 表示设(,)()()u x t X x T t =且(,)u x t 不恒为零，带入方程和边界条件中得到''2''0XT a X T -=⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）由于(,)u x t 不恒为零，有：''''2()()()()X x T t X x a T t λ==-''()()0X x X x λ+=（2）2''()()0................T t a T t λ+=（3）利用边界条件：(0)()0()()0X T t X l T t =⎧⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨=⎩（4） ''0(0)0,()0X X X X l λ⎧+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨==⎩（5） 参数λ成为特征值。

函数()X x 成为特征函数下面分三种情况讨论特征值问题 （i ）0λ<方程的通解为12()X x C C e=+由边值条件得12120C C C C e +=⎧⎪⎨+=⎪⎩C1 =C 2=0 从而 ()0,0X x λ≡<无意义（ii ）=0λ方程的通解12()X x C x C =+同样的到()0X x ≡，=0λ无意义（iii ）0λ>时，通解12()X x C C =+由边值条件得1200C C =⎧⎪⎨=⎪⎩ 得到20,C ≠从而0l =n π= 即222,12,3,n n lπλ==⋯⋯，而由于2()sin,1,2,n πX x C x n l==再求T ：22"22()()0nn n T t a T t lπ+= 其解为：()cos sin n at n at n n n l l T t A B ππ=+所以(,)(cossin )sin 1,2,3,n at n at n xn n n ll l u x t A B n πππ=+=⋯根据叠加原理可以得到：1(,)(cos sin )sin n at n at n x n n l l l n u x t A B πππ∞==+∑定解问题的解是Fourier 正弦级数，这是在 x ＝0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。

解的物理意义(,)(cos sin )sinna t na t n x n n n l l lu x t A B πππ=+u(x,t )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。

n ＝1的驻波称为基波,n>1的驻波叫做n 次谐波.注意：分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。

其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。

对于不同类型的定解条件做了如下总结齐次化原理：（Duhamel ）设3{(,,):0,0}x t R x t τπτ∈<<>>上的函数(,,)U x t τ关于自变量x ，t 二次可微(,,)U x t τ连同关于x 和t 的一阶和二阶偏导数都对(,,)x t τ在3{(,,)x t R τ∈:0,0}x t πτ<<>>上连续，且(,,)U x t τ满足：则函数0(,)(,,)tu x t U x t d ττ=⎰是下面方程的解：1、圆域上的laplace 方程定界问题20 (0, 02)u r a φπ∆=<<<< 边界条件(,)() (02)u a f φφφπ=≤≤想法是把空间柱面坐标退化为二维的极坐标。

挖掘边界条件: r 的边界是0和a, j 的边界是0和2π.自然边界条件(0,)u φ=有限值，周期边界条件：(,0)(,2)u r u r π=，分离变量令()()u R r φ=Φ，带入极坐标Laplace 方程：222110u ur r r r r φ∂∂∂⎛⎫+= ⎪∂∂∂⎝⎭得到：2r d rdR m R dr dr ''Φ⎛⎫=-⋅=- ⎪Φ⎝⎭ 于是可以化为下面两个常微分方程：20, (0)(2) (1)m π''Φ+Φ=Φ=Φ220(2)r R rR m R '''+-=、求解式（1）的本征函数得到：()cos()sin() (0,1,2,)m m A m B m m φφφΦ=+=在求解（2）式，形式上是欧拉方程，因此可以通过ln t r =来进行代换，得： 因此式（2）化简为：2()()0R t m R t ''-=它的通解是： m=0时，000()ln R t C D r =+ m ≠0时，()m m m m m R t C r D r -=+由自然边界条件“u(0,j)=有限值“ 可知0D =0和m D =0.所以，原Laplace 方程的通解为：01(,)(cos sin )m m m m u r A A m B m r φφφ∞==++∑再代入边界条件：(,)() (02)u a f φφφπ=≤≤01()(cos sin )m m m m f A A m B m a φφφ∞==++∑上式实际上就是f(j)的傅立叶级数展开式，所以待定系数可以确定： 2001()2A f d πξξπ=⎰二维Laplace 方程的一般解为：()()001(,)ln cos sin m m m m m m m u r C D r C r D r A m B m φφφ∞-==++++∑1)如果考虑圆内问题则其解为：()0(,)cos sin m m m m u r A m B m r φφφ∞==+∑2)如果考虑圆外问题则其解为：()0(,)cos sin m m m m u r A m B m r φφφ∞-==+∑3)如果考虑是圆环问题，则其解为一般解，其中的系数由边界条件确定。