关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用 “一线三垂直 ”模型是 “一线三等角 ”模型的特殊情况， （关于 “一线三等角 ”模型详见 比 例与相似高级教程 （六） ：相似三角形的 “一线三等角 ”模型 ），即三个等角角度为 90o， 于是有三组边相互垂直，所以称为 “一线三垂直 ”模型。 “一线三垂直 ”的性质： 1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长； 2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。 “一线三垂直 ”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种：
其中，在 “变形 2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的 “射影定理 ”这里主要讨论 有一对对应边相等的情况。
【例 1】如图， 在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB=Rt ∠，AC=BC ，AE ⊥CE 于点 E， BD ⊥CE 于点 D，AE=5cm ，BD=2cm ，则 DE 的长为多少？【 提 示 】 根 据 “一 线 三 垂 直 ”模 型 的 性质， △ ACE ≌ △ CBD ， 于 是 CD=AE=5cm ， CE=BD=2cm ， DE=5-2=3 （ cm）
【例 2】如图，在△ ABC 中， CA=CB ，点 D为BC 中点， CE⊥ AD 于点 E，交 AB 于 点 F，连接DF。求证：AD=CF+DF.
【解析】此题乍一看起来和【例 1】相同，却不能照搬照抄。 从要证明的结论来看，需要把AD 这条线段“转化”到直线 CF 上。如图，过点 B 作 BG ⊥ CB ，交 CF 的延长线于点 G。
则易证△ ACD ≌ △ CBG ，于是 AD=CG=CF+FG ； BG=CD=BD ， BF=BF ，∠ DBF= ∠ GBF=45o ， 故△ BDF ≌ △ BGF ，于是 FD=FG ，所以 AD=CF+DF 。关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（二） “一线三垂直 ”的性质： 1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长； 2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。 【例 3】如图，在△ABC 中， AB=AC ，∠ BAC=90o ，分别过 B，C 向过 A 点的直线作 垂线，垂足分别为 E， F。 （1）如图 1，过点 A 的直线与斜边 BC 不相交时，求证： EF=EB+CF ； （2）如图 2，过点 A 的直线与斜边 BC 相交时，其他条件不变，若 BE=10 ， CF=3. 求 EF 的长。
【提示】（ 1）图 1 是 “一线三垂直 ”的基础模型，△ABE ≌ CAF ； （2）图 2 是 “一线三垂直 ”的变形 4，和【例 1】相同。
【例 4】如图，已知△AEB 中，∠ AEB=90o ，以 AB 为边向外作正方形 ABCD ，连接 AC 、 BD ，交于点 O，连接EO 。若 BE=2 ， EO=3√2 ，求五边形 AEBCD 的面积。
【解析】因为∠ ABC= ∠ AEB=90o ，故构造 “一线三垂直 ”模型，如图。过点 C 作 CP⊥ EB ，交 EB 延长线于点 P，连接OP。 则根据 “一线三垂直 ”模型的性质，△ AEB ≌ △ BPC ， ∴BP=AE ； ∵∠ AOB= ∠ AEB=90o ， ∴A 、 E、 B、 O 四点共圆（详见“四点共圆 ”在解题中的妙用（一） ）， ∴∠ BEO= ∠ BAO=45o ； 同理∠ BPO= ∠ BCO=45o ，故△ EOP 为等腰直角三角形； ∵EO=3√2 ，∴ EP=6 ， BP=4 ， 根据勾股定理， AB2=16+4=20 ，即 S 正方形 ABCD=20 ， S△ AEB=4× 2÷2=4 ，∴ S 五边形 AEBCD=20+4=24.关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用 （三） 【例 5】已知△ ABC 中，∠ ACB=90o ，AC=BC ， CD 为 AB 边上的中线，点 E 为 BC 边上任意一点（不与A 、 D、 B 重合）， BF ⊥CE 于点 F，交 CD 于点 G，AH ⊥CE， 交 CE 延长线于点 H，交 CD 延长线于点 M 。 求证：（ 1） CG=AE ；（ 2） DE=DM 。
【提示】（ 1）根据 “一线三垂直 ”模型，△ ACH ≌ △ CBF ， ∴∠ ACE= ∠ CBG ，又∠ CAE= ∠ BCG=45o ， AC=BC ， ∴△ ACE ≌ △ BCG ； （2）由 “一线三垂直 ”模型可知，∠ ACE= ∠ CBG ，BF=CH ， ∴∠ HCM= ∠ FBE ，又∠ BFE= ∠ CHM=90o ， ∴△ CHM ≌ △ BFE ， BE=CM ，从而 DE=DM 。 同时我们也应该注意到：△ ACM ≌ △ CBE ； △ADM ≌ △ CDE ≌ △ BDG ；△ AHE ≌ △ CFG ； DM=DG=DE ； △ GEM 为等腰直角三角形等。
构造 “一线三垂直 ”模型，是作辅助线常用的一种手段。 【例 6】如图，直线 l1∥ l2∥ l3，且 l1 到 l2 的距离为 3， l2 到 l3 的距离为 4，等腰直 角△ ABC 的直角顶点 C 在 l2 上，点 A 、 B 分别在 l1、 l3 上。求△ ABC 的面积。
【提示】过点 C 作 l2 的垂线，分别交 l1 和 l3 于点 D、 E，构造 “一线三垂直 ”模型， 则CD=3 ， AD=CE=4 ， AC=5.关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（四） 【例 7】（ 2018 初二希望杯练习题）如图，四边形 ABCD 为直角梯形， AD ∥ BC， ∠BCD=90o ，AB=BC+AD ，∠DAC=45 o ，E 为 CD 上一点， 且∠ BAE=45 o ，若 CD=4 ， 求△ ABE 的面积。
【解析】如图，过点 E 作 EG⊥ AE ，交 AB 延长线于点 G，过点 G 作 GH⊥ DC，交 DC 延长线于点 H，构造 “一线三垂直 ”模型；过点 G 作 GK ⊥ BC 于点 K，过点 B 作 BF ⊥ AD 于点 F。
则△ ADE ≌ △ EHG ， DE=GH ；AD=EH=CD ， ∴DE=CH ，故四边形 CKGH 为正方形。 AF=4-BC ， AB=4+BC ， BF=4 ， ∴（ 4+BC ） 2=（ 4-BC ） 2+42， 解得： BC=1 ，所以 AB=5 ； 设DE=x ，则 BK=1-x ， GK=x ， AE2=x2+42
∵△ AEG 为等腰直角三角形，∴ AG2 =2AE2 ， （5+BG ） 2=2（ x2+42），将 BG 代入，化简得： （7x-4 ） 2=0 ， x=4/7 ， ∴△ ABE 面积 =梯形 ABCD 面积 -△ADE 面积 -△ BCE 面积 =（ 1+4 ） ×4÷2-4 ×4/7 ÷2-1 ×(4-4/7) 2÷=50/7 。
在直角坐标系中构造 “一线三垂直 ”模型，是解决坐标问题的一种有效手段。 【例 8】如图，在直角坐标系中，点 A （ 1，2），点 B（ 0，-1），已知△ ABC 为等腰 直角三角形，求点 C 的坐标。【解析】设C（ m， p）。 （1）当∠ BAC 为直角时： ①当点 C 在 AB 右侧时， 如图1。过点 A 作 DE ∥ x 轴，交 y 轴于点 D，过点 C 作 CE ⊥DE 于点 E。根据 “一线三垂直 ”模型， △ ABD ≌ △ ACE ， ∴DB=AE ， CE=DA ，即： m-1=3 ， 2-p=1 ， 解得： m=4 ， p=1 ，∴ C（ 4， 1）；
②当点 C 在 AB 左侧时， 如图2。过点 A 作 DE ∥ x 轴，交 y 轴于点 D，过点 C 作 CE ⊥DE 于点 E。根据 “一线三垂直 ”模型， △ ABD ≌ △ ACE ，∴ DB=AE ，CE=DA ，即：1-m=3 ，p -2=1 ，解得： m=-2 ， p=3 ，∴ C（ -2， 3）； （或者用下列方法：此时，点 C 和①中的 C 关于点 A 对称，故m=2× 1-4=-2 ， p=2×2 －1=3. ）
（2）当∠ ABC 为直角时： ①当点 C 在 AB 右侧时， 如图3。过点 A 作 AE ∥ x 轴，交 y 轴于点 E，过点 C 作 CD ⊥ y 轴于点 D。根据 “一线三垂直 ”模型， △ABE ≌ △ BCD ，∴ DB=AE ，BE=CD ，即 ：-1-p=1 ， m=3 ，解得： m=3 ， p=-2 ，∴ C（ 3， -2）；②当点 C 在 AB 左侧时，如图 4。 过点 B 作 DE ∥ x 轴，过点 C 作 CD ⊥ DE 于点 D，过点 A 作 AE ⊥ DE 于点 E。 根据 “一线三垂直 ”模型， △ ABE ≌ △ BCD ， ∴BE=CD ， BD=AE ，即： 0-m=3 ， p - （ -1 ）=1 ， 解得： m=-3 ， p=0 ，∴ C（ -3， 0）； （或者用下列方法：此时，点 C 和①中的 C 关于点 B 对称，故 m=2× 0-3=-3 ， p=-1×2 －（ -2） =0. ）
（3）当∠ ACB 为直角时： ①当点 C 在 AB 右侧时，如图 5。过点 C 作 CD ∥ x 轴，过点 A 作 AD ⊥ CD 于点 D， CD 交 y 轴于点 E。 根据 “一线三垂直 ”模型， △ ACD ≌ △ CBE ， ∴BE=CD ， CE=DA ，即： m=2-p ， p-（ -1 ）=m-1 ， 解得： m=2 ， p=0 ，即 CD 与 x 轴重合，点 E 与 O 重合， ∴C（ 2， 0）；
②当点 C 在 AB 左侧时，如图 6。过点 C 作 CD ∥ x 轴，过点 A 作 AD ⊥ CD 于点 D， CD 交 y 轴于点 E。 根据 “一线三垂直 ”模型， △ ACD ≌ △ CBE ， ∴BE=CD ， CE=DA ，即： 1-m= p- （ -1）， 2-p = 0-m ， 解得： m=-1 ， p=1 ，∴ C（ -1， 1）。 （或者用下列方法：此时，点 C 和①中的 C 关于 AB 的中点对称， AB 的中点坐标为 （0.5 ， 0.5），故 m=2× 0.5-2=-1 ， p=0.5×2－0=1. ） 综上所述：符合条件的点 C 的坐标有6 个： （4， 1）；（ -2， 3）；（ 3， -2）； （ -3， 0）；（ 2， 0）；（ -1， 1）。