A21 2, A22 2, A23 1, A31 6, A32 7, A33 2,
于是
A11 A21 A31 1 2 6
A*
=
A12
A22
A32
1
2
7
,
A13 A23 A33 1 1 2
a
19
由公式(1.18)
1 2 6
A1
1 A
A*
1
1
2 1
7 . 2
1 0 0 1 2 6
r1 r3 r2 r3
0 0
1 0
0 1
1 1
2 1
7 , 2
由定理 1.3, A 可逆,且
1 2 6
A1
=
1
2
7 .
1 a 1 2
18
解法二 用公式(1.18).
A = -1 0, 故 A 可逆.再计算 A 的代数余子式:
A11 1, A12 1, A13 1,
D (2 1)(3 1)(3 2) 2 0
由克拉默法则,方程组有唯一解,且
211
1 a0 = D 3
2
4 4 2; 2
539
a
30
121
1
1
a1 = D 1
3
4 ; 2
15 9
11 2
1
1
a2 = D 1
2
3 . 2
135
所以该二次曲线的方程为 y 2 1 x 1 x2. 22
A1 1 A* . A
a
13
第二种方法是用矩阵的初等行变换,具体方法是,
设 A 是 n 阶方阵,把 En 写在 A 的右边，构成
n 2n 矩阵，记为 A, E 。当 A 可逆时， A, E 的行最简形为 E,B ，其中 n 阶方阵 B 即是 A 的
逆阵，即 B = A1, 于是有
A,E r E, A1 .
b a
,
对于
n
个
未知数、 n 个方程的线性方程组 Ax = b ,是否也能
找到矩阵 B ,使方程有类似形式的解 x = Bb 呢?这
问题的一般性讨论已超出本书范围,但读者不难看
出,如果对于方程的系数矩阵 A ,存在 n 阶方阵 B ,
a
2
使 BA E 的话，那么用 B 左乘上述方程 Ax b 的 两边，得 BAx Bb,因 BA E ，于是 Ex x Bb，
y a0 a1x a2 x2
过三点(1,2),(2,3),(3,5),求此曲线方程.
解 把三个点的坐标代入曲线方程,得线性方程 组
aa0 02aa11
+a2 2, +4a2 3,
a0 3a1+9a2 5.
a
29
其系数行列式
11 1 D=1 2 4,
139
它的转置是一个范德蒙行列式.例 1.26,
方阵 A 是否可逆是 A 的一个重要属性,可逆矩阵
在线性代数的理论和应用中都起着重要的作用.
引入逆阵的概念后,就可以回答本节一开始提出
的问题.如果现行方程组 Ax = b 的系数矩阵 A 是
a
5
可逆的,则它有解 x = A1b..接下来需要解决的问
题是如何判别方阵 A 是否可逆?如果 A 可逆,如何 求他的逆阵 A1 ?下面的定理回答了这两个问题.
定理 1.2 (1) 方阵 A 可逆的充分必要条件是
A 的行列式 A 0 ;
(2) 当 A 可逆时,
A1 1 A* , A
(1.18)
其中 A* 是 A 的伴随矩阵.
a
6
证 （1）必要性：若 A 可逆，即有 A1 使
AA1 E,
于是
det AA1 det E 1.
由矩阵取行列式的性质(İİİ),得
A1A2…As 1 As1…A21A11.
a
12
二、逆矩阵的求法
如前所述，当 A 是可逆阵时，线性方程组 Ax = b 有解 x = A1b, 因此就需要计算 A 的逆矩阵 A1 .
事实上,在线性代数的许多应用问题中都需要求 逆矩阵. 求逆矩阵一般有两种方法. 第一种方法是用公式(1.18),即
对于线性方程 (1.19′),若常数向量 b 0 ,
即 b1 b2 bn 0, 得齐次线性方程
Ax 0. a
(1.21)
31
显然 x 0 ,即 x1 x2 xn 0 是它的解.这 个解成为方程(1.21)的零解;若 x 0 是方程(1.21)
的解,则称它为非零解.齐次方程一定有零解,但不 一定有非零解.
§5 可逆矩阵及应用举例
本节要点
一、 二、 三、 四、 五、
可逆矩阵的基本概念 逆矩阵的求法 克拉默（Cramer）法则 矩阵方程 逆矩阵在加密传输中的应用
a
1
§5 可逆矩阵及应用举例
一、可逆矩阵的基本概念
对于一元线性方程 ax = b ，当 a 0 时，存在
数
a 1
1 a
，使方程有解
x
a1b
由于
A
-
E
=
1 1
0 1 ,
其行列式 A - E = 1 0, 故 A - E 可逆,用
A - E 1 右乘(1.22)式得两边,得
B A - E A - E 1 A A - E 1 .
a
34
于是 B = A A - E 1
2
0 1
0
1
2
01 0
=
1
2
A 1 1 A1;
( İİİ )若 A 、 B 为同阶方阵且均可逆,则其乘积矩
阵 AB 也可逆,且 AB1 B1A1;
( İV )若 A 可逆,则 AT 亦可逆,且
AT
1
A 1
T
;
( V ) 若 A 可逆,则 A1 1 .
aA
11
可将性质(İİİ )推广,即若 A1, A2 , A3,…，As 为同阶 可逆方阵,则 A1A2…As 可逆, 且
A + 2E A E E,
A + 2E E A E,
同理,知 A+ 2E 可逆,且
A+ 2E1 E A.
a
21
三、克拉默(Cramer)法则
第 4 节中在引入二阶行列式时,我们介绍了线性方 程组
aa21
1x 1x
1 1
a 1 2x2 a 2 2x2
,b 1 .b 2
的行列式解法.当系数矩阵
求
解 因 detA 0, 故 A 可逆.又,
detA = ad
- bc,
A*
=
d c
b a
,
由公式(1.18)得
a
15
a
c
b d
1
ad
1
bc
d c
b a
.
上面的结果,可当公式使用.（两调一除）
a
16
例 1.35 求方阵
3 2 2
A
=
5
4
1
1 1 0
的逆矩阵.
解法一 用初等行变换.(只用行变换)
B = BE B AC BAC EC C,
所以 A 的逆阵是唯一的.将 A 的逆阵记作
A1 ,即有
A1A AA1 E.
a
4
对于定义 1.11,读者应注意:
(1)可逆矩阵一定是方阵,并且其逆阵为同阶 方阵;
（2）（1.17）式中,矩阵 A 与 B 的地位是对称的. 所以,由(1.17)式, B 也是可逆阵,并且 A 与 B 互为 可逆阵,即 B = A1 ,同时 A = B1 .
x A1b 是方程(1.19)的唯一解.
进一步,由 A1
1 A
A* 和 x0 A1b ,得
x1
A11 A21
x
=
x2
1
A12
A22
A
xn
A1n A2n
An1 b1
An2
b2
Ann bn
a
26
b1 A11 b2 A21
1
b1
A12
b2 A22
这样就引出了逆矩阵的概念。
定义 1.11 对于 n 阶方阵 A ,如果存在一个
n 阶方阵 B ,使
AB = BA En ,
(1.17)
则称矩阵 A 是可逆的,并把方阵 B 称为 A 的
逆矩阵或逆阵.
a
3
如果矩阵 A 是可逆的,那么 A 的逆阵是唯一
的.这是因为,设 B 、 C 都是 A 的逆阵,则有
3 2 2 1 0 0
1 1 0 0 0 1
A,
E
5
4
1
0
1
0
r1r3
5
4
1
0
1
0
1 1 0 0 0 1
3 2 2 1 0 0
a
17
1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 4
r2 5r1
r1r2
0 1 1 0 1 5 0 1 1 0 1 5
r33r1 0 1 2 1 0 3 r3r2 0 0 1 1 1 2
因 A 0, 故 A1 存在,令 x0 A1b ,有
Ax0 = A A1b = AA1 b b,
a
25
这说明 x0 A1b 为方程(1.19)的解.又:如果 x 是
方程的任意解,则 x 满足(1.19′)式.用 A1 左乘 (1.19′)式两端得 x A1b.由 A1 的唯一性,知
A
=
a11 a21
式 A 0 时,有唯一解
a12 a22
的行列
x1
A1 A
, x2