第六节
第二章
矩阵逆及其求法
一、逆矩阵的概念
二、方阵可逆的判别定理
三、逆矩阵的基本性质
四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
1
线性方程组的矩阵表示法
设 A (aij )mn X (xi )n1 B (bi )m1
a11x1 a12x2 a1n xn b1
n 元线性方程组 a21x1 a22x2 a2n xn b2
8
( A E)1 1 ( A2 A E) 8
31
例14若 A3 A 2E 0 ，判别 A 及 ( A 2E) 可逆，
并求其逆。
解 (1)
A( A2 E) 2E ,
A2 E
A
E,
A 可逆 且 A1 1 (E A2 ) 2
2
(2) A2 ( A 2E) 2A( A 2E) 3( A 2E) 8E 0
1 2
4 1
2 1
n
1 0
0 2n
An 11
2 4
1 0
0 2n
1 2
4 1
2 1
2 2n 2 2n1
22nn111
21
二、逆矩阵求解方法二——初等变换法 初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了
充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。
定理3 A可逆 A 行 E Pm P2P1A E
Pm P2P1E A1 E 行 A1
0 2 8 3 0 1 0 0 12 7 2 1
23
1 ~ 0
0
0 1 0
1 2 12
1 2 7
0 1 2
0 0 1
~
1 0 0
0 1 0
1 2 1
1
2 7
12
0
1
1 6
0 0 112
1 0 1 1
0 0
~ 0 0
1
1 0
0
0 1
0
56
2 3
1 6
7 12
1 6
112
5 12
(4) ( AT )1 ( A1 )T .
证明 只证 (3) 和 (4) .
(3) (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 =AEA-1 =AA-1
= E. (4) AT(A-1)T = (A-1A)T = (E)T = E,
6
矩阵可逆的条件： a11 a12 L a1n
定义
设 矩阵
A
a21 M
a22 M
L
a2n
M
an1 an2 L ann
中元素 aij 的代数余子式 Aij ，
A11
A*
A12 M
A21 L A22 L M
A1n A2n L
An1
An2
M
Ann
称为 A 的伴随矩阵.
7
例 2.16 求二阶方阵
A
a11 a21
a12
a22
的伴随矩阵.
又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵 . 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 因为 AB = BA = E . 所以 B 是 A 的一个逆矩阵。
4
若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 .
证明 设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义 有 AB = BA = E，AC = CA = E， B = BE = B( AC ) = ( BA )C = EC = C .
3 解 由于 AA A E , 故 A A A1 ,于是
3 A1 1 A 3 A1 1 A A1
3
3
3A1 A1
2A1 23 A1
23
1 A
8. 3
20
例6
设P 11
42 ，
1 0
0 2
，AP
P，求An
解：
A PP1
An PP1PP1PP1 PP1PP1
Pn P1
P 1
22
23
A13 3
2, 4
A21 4
6, 3
15
13
12
2
A22 3 3 6 , A23 3 4 2 , A31 2
13
12
A32 2
1 5 , A33 2
2 , 2
于是
2 6 4
A1
1 A
A
1 2
3 2
6 2
5 2
,
2 6 4 2 9
x
1 2
3 2
(A2 2A 3E)( A 2E) 8E
1 ( A2 2A 3E)( A 2E) E
(
A
8 2E)
可逆，
且
(A
2 E ) 1
1
(
A2
2
A
3E)
8
32
例15
设A,B分别是m阶,
n阶可逆矩阵，D
A C
A0
0 B
，求
D 1
。
解 D
AB
D
CB 0，D可逆，设
D 1
X X
11 21
X X
所以逆矩阵唯一.
➢单位矩阵的逆为其本身。
➢对角矩阵的逆为（如果它可逆的话）
1
2
O
0 1
1 1
1 2
O
0
.
0
n
0
1 n
5
方阵的可逆满足性质：
(1) ( A1 )1 A;
(2) (kA)1 1 A1 (k 0) ; k
(3) A、B 均是同阶可逆阵，则 ( AB)1 B1 A1 ;
s
4、 秩（A）= 秩( Ai ) i 1
A11
5、Ai 可逆时，则A可逆，且
A1
A21
As1
34
： 定理4 方阵A可逆的充分必要条件是它能表示
成一些初等矩阵的乘积： A p1 p2 ps
定理5 设A，B是 m n 矩阵，则以下三个条件等价 （1） A与B等价； (2) R( A) R(B)
A1
1 A
A*
1 2
4 3
2
1
2 3 2
1
1 2
.
12
推论 若方阵 A、B 有 AB = E，则 A、B 均可逆. 证明 因为
AB A B E 1 , 故
A 0, B 0, 于是 A、B 均可逆 .
13
x1 2 x2 3 x3 2 ,
例 2.17
求解线性方程组
2
x1
M
an1 A11 L ann A1n L
a11 An1 L a1n Ann
M
.
an1 An1 L ann Ann
由第一章行列式展开定理及其推论知
A
AA*
0
A O
0
A
E.
A
类似有 A A A E.
9
定理2. 2 矩阵 A 可逆充分必要条件是 A 0 .
且当 A 0 时，A1 1 A* . A
1
am1x1 am2x2 amn xn bm
a11
a21
am1
a12 a22 am2
a1n a2n amn
mn
x1 xxn2
b1 b2 bm
AX B
（2）
2
则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题，
而后者即求 AX B 中未知矩阵X的问题。这需要用到
6 2
5 2
1 4
10 3
.
3 4 ,
1
16
利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量 个数等于方程个数的一种方法 ( 第一章给出了行列式 法 ) ，但对于 n 较大时，两种方法都不适用 .我们将 在余下的章节讨论第三种方法 .
17
2 1 1
例 2.18
设
A
2
6
4
,
AB
A1 2X A E BA，
，
A1 2X BA ， X 1 ( A1 BA) 2
AE
0 1
1 1
2 4
1 0 0 1 0 0 7 0 1 0 0 1 0 5
5 4
2 2
2 1 3 0 0 1 0 0 1 3 2 1
28
X 1 ( A1 BA) 2
7 5 2
0 1 2
2 1 6 , 4
14
方法二 ( 逆阵法 ) 因为方程可写成矩阵形式 Ax = b，其中
1 2 3 2 x1
A
2
2
1
,
b
1
,
x
x2
.
3 4 3
4
x3
由于 A 2 0 , 故 A 可逆，因此 x A1b ,
其中
21
21
A11 4
2, 3
A12 3
3 , 3
所以
(A
E )1
1 2
(
A
E )
1 2
4 8
0 1
2
,
3
6
B
1 2
4 8
1 0 1
1 2
2
2
3 2
1 6 114源自3 81 2
4 8
1 2 1
1
2
.
5
故
6
1 2
1
2
A B 4 7 3 .
2
3
11
2 2
19
例 2.19 设 A 为 3 阶矩阵，且 A 3 , 求 3 A1 1 A .
A 1
5
4
2
，
BA 1
1
4
，
3 2 1
2 1 3
7 2 3 0 X 3 3 2 3