(c)
．
-1
y
-i O
| z (1 i ) | 1
x
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7
三、复变函数极限和连续判别 让z沿不同路径趋近于0 例４ 设 z x iy ，试讨论下列函数的连续性：
2 xy , 2 2 f (z) x y 0, z 0 z 0
解
因为 z0 0时，
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3
2. 幂和方根的计算： 1 2kπ 2kπ n n w z r cos i sin n n
2i 1 i 5 )( ) 化为三角形式， 例2 将复数 z ( 1 i 1 i
6 3 z 并求 , z .
3 3 解 因为 z 2(cos( ) i sin( )), 所以 4 4 3 3 6 6 z ( 2 ) (cos( 6) i sin( 6)) 4 4 8i . 3 3 2k 2k 1/ 3 3 z ( 2 ) [cos( 4 ) i sin 4 ] 3 3
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连续性 可导与解析 判别定理 C-R条件
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2
一、复数的计算 (商：分子分母同乘分母共轭或三角形式) 1. 几种形式的转化
2i 1 i 5 )( ) 化为三角形式. 例1 将复数 z ( 1 i 1 i (辐角用主值) 2i 解 1 i 1 i
1 i 5 ( ) i 则 z 1 i . 1 i 3 3 三角形式为 z 2(cos( ) i sin( )). 4 4
那么
的值等于（ 0
）

z
（ A）
1 （A）
3i
1 3 i （C） 2 2
3 1 i （B） 2 2
（D）
y tg x
3i
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5
二、由方程(不等式)判断对应图形的性质 (令z = x + iy, 复—实—复) 例3 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出 是单连通域还是多连通域?
k = 0, 1, 2
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4
练习：(i 4 1)
5 5 cos( ) i sin( ) 6 6 2009 2357 256 74 当 z z z z z 1 1 时， cos( ) i sin( ) 3 3
5 设复数 z 满足 arg(z 2) ， , arg(z 2) 3 6
lim u( x , y ) 不存在, 随 k 值的变化而变化 , 所以 x x
y y0
0
f ( z )在复平面除去原点外连续，在原点处 所 以 不连续.
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9
四、映射的像 （将映射对应二元函数与已知条件结合） 例5 函数 w 1 z 将 z 平面上的下列曲线变成 w平 面上的什么曲线？ (1) x 2 y 2 9, (2) x 2. 2 2 2 (1) 因为 x y z 9 解
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21
六、初等函数
1 与实初等函数不同的性质 (1). 指数函数具有周期性 ( 周期为 2πi ) (2). 负数无对数的结论不再成立 (3). 三角正弦与余弦不再具有有界性
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22
例8 下列命题中，正确的是( D )
cos( x iy ) 1 （B）若 z0 是函数 f ( z ) 的奇点,则 f ( z ) 在点 z0 不可导
f ( z ) 在 D内是一常数 (C) 若 arg( f ( z )) 在 D内是一常数，
若f (z)与 f ( z ) 在 D内解析， 则 f ( z ) 在 D内是一常数 （D）
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20
3 解析函数的导数
u v 1 u v f ( z ) i . x x i y y
v u v u 0 x x v u u v 0 y y
由此可知或者u = v = 0, 从而f (z)为一常数.
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17
或者
u x u y
v x 0 v y
又f (z)在 D 内解析, 所以满足柯西 – 黎曼方程:
u v u v , . x y y x
由上面两式得
u 2 v 2 ( ) ( ) 0, x x
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18
所以
u u v v 0. x y x y
u, v 均为常数, 故 f (z) 为常数.
（A）设 x , y 为实数，则
（C）若 u, v 在区域 D 内满足柯西-黎曼方程，则 f ( z ) u iv 在 D 内解析
（D）若 f ( z ) 在区域 D 内解析,则 if ( z ) 在 D 内也解析
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为任意实数，则
1 ( D )
（B）等于1 （A）无定义 （C）是复数，其实部等于1 （D）是复数，其模等于1
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14
2、f (z)取常值的等价条件
如果 f ( z ) 在区域 D 内解析, 则以下条件彼此等价 .
(1) f ( z )恒取常值;
( 2) f ( z ) 0;
(4) f ( z )解析;
( 3) f ( z ) 常数;
(5) Re[ f ( z )] 常数;
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26
1 i ( 1 i ) 例11 试求 函数值及其主值:
解
(1 i) e
1i
(1i ) Ln (1i )
e
( 1 i ) ln 2 i 2 k 4
e
ln 2 2 k i 2 k ln 2 4 4
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25
( 2) 例10 求出
2
的值.
2Ln ( 2 )
解
(2)
e
e
2 ln 2
2
e
2 ln 2 i ( 2 k )
{cos[ 2( 2k 1)] i sin[ 2( 2k 1)]}
( k 0, 1, 2,)
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练习 1.如果 f ( z )在单位圆 z 1 内处处为零，且 内 f (z) ，那么在 z 1 f ( 0 ) 1
( C
)
（A） 0 （B） 1 （C） 1 （D）任意常数
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19
2．设函数 f ( z ) 在区域 D 内有定义， 则下列命题中， 正确的是( D ) 则 f ( z ) 在 D内是一常数 (A) 若 f ( z ) 在 D内是一常数， (B) 若 Re( f ( z ))在 D内是一常数， f ( z ) 在 D内是一常数
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13
练习 1．函数 f ( z ) 3 z （A）解析的 （C）不可导的 2．函数
2
在点 z 0 处是( B) （B）可导的 （D）既不解析也不可导
f ( z ) z 2 Im(z ) 在z = 0处的导数为( A )
（A）等于0 （C）等于-1
（B）等于1 （D）不存在
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12
五、 函数解析性相关性质 u
v u v , 1 函数解析、可导的判别 x y y x 2 2 2 f ( z ) ( x y x ) i ( 2 xy y ) 在何处 例6 函数 可导，何处解析. 解 u( x, y ) x 2 y 2 x, ux 2 x 1, uy 2 y;
1 1 (a) Re( ) ; (b) | z | Re z 1; z 2 (c) zz (1 i ) z (1 i ) z 1 0.
y
解 (a)
O
( x 1)2 y 2 1
1
x
无界多连通域.
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6
(b)
O
y i
1/2
-i
x
无界单连通域.
1 1 x iy 1 2 又 w 2 ( x iy ), z x iy x y 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x , v 1 y 9 9 9 9 1 2 2 1 2 2 u v (x y ) 表示 w 平面上的圆. 81 9
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24
2. 初等函数的计算 例9 解 解方程 sin z 0
e iz e iz e 2 iz 1 sin z 0 iz 2i 2ie
e 2 iz 1
e
2 iz
e
2 k i
z k.
( k 0, 1, 2,)
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v( x, y ) 2 xy y 2 , v x 2 y , v y 2 x 2 y; 1 当且仅当 y 时， ux v y , uy v x . 2 1 故 f ( z ) 仅在直线 y 上可导. 2 1 由解析函数的定义知, f ( z ) 在直线 y 上处处 2 不解析, 故 f ( z ) 在复平面上处处不解析.