⎩ +
= 2 课题：参数方程与普通方程的互化
【学习目标】
1. 进一步理解参数方程的概念及参数的意义。

2. 能通过消去参数将参数方程化为普通方程，由普通方程识别曲线的类型
3. 能选择适当的参数将普通方程化成参数方程
【重点、难点】
参数方程和普通方程的等价互化。

自主学习案
【问题导学】阅读课本 P24—P26，然后完成下列问题： 1. 参数方程的概念
(1)
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、 y 都是某个变数t
⎧ x = f (t )
的函数⎨
y = g (t )
(t ∈ D ) , 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M
（x,y ）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的 ，联系变数 x 、 y
的变数 t 叫做
，简称。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 F (x , y ) = 0 叫做。

(2)
是联系变数 x,y 的桥梁，可以是一个有
意义或
意义的
变数，也可以是 的变数。

2、 （ 1） 圆 心 在 原 点 O ， 半 径 为 r 的 圆 的 一 个 参 数 方 程 是
；
（2）圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的一个参数方程是 .
3、指出下面的方程各表示什么样的曲线： （1）2x+y+1=0
表示
(2) y = 3x 2 + 2x +1 表示
2 (3)
x y 1表示
9
4
t
⎩ (4) ⎧x = cos + 3(为参数) 表示
⎨
y = sin
【预习自测】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？
⎧x = t +1 ⎧x = 2 c os 1、⎨ y = 1- 2t
（t 为参数）
2、⎨ y = sin
（为参数）
⎩ ⎩
思考：
1、通过什么样的途径，能从参数方程得到普通方程？
2、在参数方程与普通方程互化中，要注意哪些方面？
合作探究案
考向一、参数方程化普通方程
例 1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线 （1） ⎧⎪x = ⎨ + 1 ⎧x = sin + cos （t 为参数） （2） ⎨ y = 1 + sin 2
（为参数） ⎪⎩ y = 1 - 2 ⎩
小结：
t
⎩ ⎩ 参数方程化普通方程的步骤：
练习：将下列参数方程化为普通方程 ⎧
x = t + 1 （1）⎧x = 3 - 2t
⎨
y = -1- 4t
（2）
⎧x = sin ⎨
y = cos 2
⎪ （3） ⎨
⎪ y = t 2 ⎩
t
+ 1
t 2 (t > 0)
考向二、普通方程化参数方程
x 2 y 2
例 2：求椭圆 + = 1的参数方程： 9
4
（1）设 x = 3cos ,为参数；
（2）设 y = 2t ,t 为参数
思考：
1. 如果没有明确 x 、y 与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？
2. 为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？
⎩ 知识归纳：
x 2 + y 2 =
1、椭圆的标准方程: 9 4 x 2 + y 2
1的一个参数方程为：
;
= 2、椭圆的标准方程: a
2 2
1 b x
2 的一个参数方程为： ;
y 2 变式练习：动点 P(x,y)在曲线
+ = 1上变化 ，求 3x+4y 的最值。

16 9
【当堂检测】
x = 1 + cos 2
1、若曲线{ y = sin 2
(为参数),则点(x , y )的轨迹是( )
A 、直线x + 2 y - 2 = 0,
B 、以(2,0)为端点的射线
C 、圆(x - 1)2 + y 2 = 1,
D 、以(2,0)和(0,1)为端点的线段
2、设 y =
t ，则将直线 x+y-1=0 用参数 t 表示的一个参数方程是 ;
2
(09广东(文))
⎧ x = 1 - 2t
(t 为参数)与直线4x + ky = 1垂直、 则常数k = 3、
【总结提升】 若直线⎨
y = 2 + 3t
一、
知识点总结：
1、参数方程化为普通方程的方法——消去参数（代入消参法，三角变换消参法、整体代入法）；
2.普通方程化为参数方程的方法——引入参数。

二、 学习方法总结：
1. 对问题的转化需要注意互化前后的等价性；
2. 对问题的结论学会用数形结合的思想进行验证。

高考链接
1、曲线 y = x 2 的一种参数方程是：（ ）.
2
⎩ ⎩
⎩
⎧⎪x = t 2
A 、⎨
⎪ y = t 4 ⎧x = sin t
B 、⎨ y = sin 2
t ⎧⎪x = C 、⎨ ⎪⎩ y = t
x = 1 + t ⎧x = t D 、⎨ y = t 2
x = 2 cos
2、 若已知直线的参数方程为{
的交点有
个.
y = 1 - t (t 为参数)则它与曲线{
(为参数) y = 2 sin t。