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参数方程普通方程互化


∴3x+4y的最大值为9,最小值为-1.
(2)P 到直线 l 的距离为 d=|
3cos
θ+sin 2
θ-4|=|2sinθ+2 π3-4|,
∴此当时θ+,π3x==3c2πo,s 7即6π=θ=-76π23时,,y=dmsaixn=736π,+1=12,∴点 P 的坐标为(- 23,12).
当 θ+π3=π2,即 θ=π6时,dmin=1,此时,x=cos π6= 23,y=sin π6+1=32,
(1) 3 + 5 =1,x= 3cos θ+1;(θ 为参数)
(2)x2-y+x-1=0,x=t+1.(t为参数)

(1)将 x= 3cos θ+1 代入
x-1 3
2

y-2 5
2
=1,得 y=2± 5sin θ.
∴x= 3cos θ+1, y=± 5sin θ+2.
(θ 为参数)这就是所求的参数方程.
∴点
P

的坐标为
23,32.
反思与感悟
(1)参普互化有利于问题的解决,根据需要,合理选择用参数方程还是 普通方程. (2)解决与圆有关的最大值,最小值时,通常用圆的参数方程,将问题 转化为三角函数的最大值,最小值问题.
跟踪训练3 在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0.以原点O为 极点,以x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为
解析 由 x=t+1t ,得 x2=t2+t12+2, 又 y=t2+t12,∴x2=y+2.∵t2+t12≥2,∴y≥2.
规律与方法
1.参数方程和普通方程的互化 参数方程化为普通方程,可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参 数方程中的参数,通过曲线的普通方程来判断曲线的类型,研究曲线的 性质. 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数,寻求曲线上任一点M的坐 标x,y和参数的关系,根据实际问题的要求,可以选择时间、角度、线 段长度、直线的斜率、截距等作为参数. 2.同一问题参数的选择往往不是惟一的,适当地选择参数,可以简化解 题的过程,降低计算量,提高准确率.
类型一 参数方程化为普通方程 例1 将下列参数方程化为普通方程,并判断曲线的形状.
x= t+1, (1)y=1-2 t
x=5cos θ, (t 为参数); (2)y=4sin θ-1
(θ 为参数);
x=11- +tt, (3)y=12+t t
(t≠-1,t 为参数).
x=3cos φ+4sin φ, 4.参数方程y=4cos φ-3sin φ
表示的图形是___圆_____.
解析 x2+y2=(3cos φ+4sin φ)2+(4cos φ-3sin φ)2=25,表示圆.
5.将参数方程xy==tt2++1tt1,2
(t 为参数)化成普通方程为_x_2_-__y_=__2__(y_≥___2.)
1+1+x 所以x+y=1(x≠-1,y≠2). 方程表示直线(去掉一点(-1,2)).
反思与感悟
消去参数方程中参数的技巧 (1)加减消参数法:如果参数方程中参数的符号相等或相反,常常利用两 式相减或相加的方法消去参数. (2)代入消参数法:利用方程思想,解出参数的值,代入另一个方程消去 参数的方法,称为代入消参法,这是非常重要的消参方法. (3)三角函数式消参数法:利用三角函数基本关系式sin2θ+cos2θ=1消去 参数θ.
(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法 ①代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数; ②三角函数法:利用三角恒等式消去参数; ③整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去. 特别提醒:化参数方程为普通方程F(x,y)=0,在消参过程中注意变量x, y的取值范围,必须根据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)的值域得x,y的取 值范围.
跟踪训练2 已知曲线的普通方程为4x2+y2=16. (1)若令y=4sin θ(θ为参数),如何求曲线的参数方程? (2)若令y=t(t为参数),如何求曲线的参数方程?若令x=2t(t为参数), 如何求曲线的参数方程?
解 (1)把y=4sin θ代入方程,得到4x2+16sin2θ=16,
于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ,∴x=±2cos θ.
解 (1)由 x= t+1≥1,得 t=x-1,代入 y=1-2 t, 得y=-2x+3(x≥1),这是以(1,1)为端点的一条射线.
(2)
由xy==45scions
θ, θ-1,
得cos sin
θ=x5, θ=y+4 1,
① ②
①2+②2,得2x52 +
y+1 16
2
=1,这是椭圆.
(3)方法一 x+y=11- +tt+12+t t=11++tt=1,又 x=11- +tt=1+2 t-1,故 x≠-1,
y=12+t t=
+t 1+t
-2=2-1+2 t,故 y≠2,
所以所求的方程为x+y=1(x≠-1,y≠2).
方程表示直线(去掉一点(-1,2)). 1-t
方法二 由 x=1+t,所以1x-+xxt=1-t, y所=以12+(tx+ t=12)×t=1111- + --xxxx=,1即+2xt1=+-11x+- xx,=代1-入x,y 中得,
∴普通方程为y=-x2+1(0≤y≤1).
(2) 由x=sin θ-cos θ,得x2=1-2sin θcos θ=1-sin 2θ, ∴x2+y=1, ∴普通方程为y=-x2+1(0≤y≤1).
类型二 普通方程化为参数方程
例2 根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程. x-12 y-22
第二讲 一 曲线的参考方程
第2课时 参数方程和普通方程的互化
学习目标
1.了解参数方程化为普通方程的意义. 2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法. 3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题.
复习回顾
求下面函数的值域: (1) y sin x 3 cos x, (2) y sin2 x cos x
1.若点P在曲线ρcosθ+2ρsinθ=3上,其中0≤θ≤
的轨迹是( )
D
A.直线x+2y=3
B.以(3,0)为端点的射线
,ρ>0,则π 点P
4
C.圆(x-1)2+y2=1 D.以(1,1),(3,0)为端点的线段
Байду номын сангаас
C 2.将参数方程
A.y=x-2
xy==s2i+n2θsin2θ,(θ为参B数.y)=化x成+普2 通方程为(
∴4x2+y2=16
的参数方程是xy==24csions
θ, θ
和yx==4-si2ncθo.s θ,
(θ 为参数)
(2)将y=t代入普通方程4x2+y2=16,得4x2+t2=16,
则 x2=16-4 t2,∴x=±
16-t2 2.
因此,椭圆4x2+y2=16的参数方程是

x=
代入消元法
2.
二元函数的解法
基本不等式法 参数方程法
数形结合法
思考2
把参数方程化为普通方程的关键是什么? 答案 关键是消参数.
答案
梳理
(1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化
①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过
_消__去__参__数__ 而从参数方程得到普通方程; ②如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普 通方程,求出另一个变数与参数的关系 y=g(t) ,那么xy= =fgtt,就是曲线 的参数方程.
3.参数方程与普通方程的等价性 把参数方程化为普通方程后,很容易改变变量的取值范围,从而使得两 种方程所表示的曲线不一致,因此我们要注意参数方程与普通方程的等 价性.
ρ2-4 2ρcosθ-π4+6=0.(1)求直线l的极坐标方程,曲线C的直角坐标方 程;(2)若点P是曲线C上任意一点,P点的直角坐标为(x,y),求x+2y的最 大值和最小值.
解 (1)直线l的方程为x-y+4=0,因为x=ρcosθ,y=ρsinθ, 所以l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+4=0. 又曲线 C 的极坐标方程为 ρ2-4 2ρcosθ-π4+6=0, 所以ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0, 因为ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ, 所以曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=2.
x= 33t, y=-t+5.
(1)求3x+4y的最大值和最小值; (2)若P(x,y)是圆C上的点, 求P到直线l的最小距离,并求此时点P的坐标.

(1)

C
的参数方程为xy==scions
θ, θ+1
(θ 为参数),
直线 l 的普通方程为 3x+y-5=0.
3x+4y=3cos θ+4sin θ+4=5sin(θ+φ)+4,tan φ=34,
)
C.y=x-2(2≤x≤3)
D.y=x+2(0≤y≤1)
解析 由x=2+sin2θ,得sin2θ=x-2,代入y=sin2θ, ∴y=x-2. 又sin2θ=x-2∈[0,1],∴x∈[2,3].
3.参数方程xy==ssiinn
2θ, θ+cos
θ
(θ 为参数)表示的曲线的普通方程是
__y_2_=__x_+___1_(_-__1_≤__x__≤__1_)___
跟踪训练1 将下列参数方程化为普通方程.
x=1+cos θ,
x=sin θ-cos θ,
(1)y=sin2θ
(θ 为参数); (2)y=sin 2θ
(θ 为参数).
x=1+cos θ, x-1=cos θ,
解 (1)由y=sin2θ,
得y=sin2θ,
∴(x-1)2+y=cos2θ+sin2θ=1, 即y=-(x-1)2+1(0≤y≤1),
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