3.4 圆周角 (2)
旧知回放:
A
1、圆周角的定义：
顶点在圆上，两边都与圆相交的角。
O
2、圆周角定理：
B
C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
3、圆周角定理的推论1：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
900的圆周角所对的弦是直径。
A
C OB
用于判用断于某判个断圆某周条 角是线否是是否直过角圆心
3.一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4
倍，则这弦所对的圆周角度数为 _3_6__º_或___1_4_4__º
问题: 如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什
D
B E
●O
圆周角定理的推论2：
A
C
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
F A
M E
B
D
O
C
如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点 E,G是⌒AC上任意一点,延长AG,与DC的延 长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图 中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.
F G
C
O
E B
A
D
小结 1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、圆周角定理及其推论的用途你 都知道了吗？
课前检测
1.下列命题中是真命题的是（ D ） （A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。 （B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º （C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 （D）120º的弧所对的圆周角是60º
2.如右图，⊙O中，∠ACB = 130º， 则∠AOB=__1_0_0_º_。
O B
AC
练习：如图，P是△ABC的外接圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°.
求
证：△ABC是等边三角形
A P
证明：∵∠ABC和∠APC
都是
⌒
AC
所对的圆周角。
· O
C
∴∠ABC=∠APC=60°
B
(同弧所对的圆周角相等）
同理，∵∠BAC和∠CPB都是 B⌒所C 对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB=60°。
∴△ABC等边三角形。
用于找相等 的角
用于找相等 的弧
做一做：
如图，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙O．找出图
中分别与∠１， ∠２ ，∠３相等的角．
Ｃ
·
Ｄ２１ ３ ·O
Ａ
Ｂ
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证：B⌒D=D⌒E
A
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴AD平分顶角∠BAC， 即∠BAD=∠CAD，
Ｏ. E
B
DC
∴ ⌒BD= ⌒DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等）.
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定
是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过
A,B两点的一个弓形区域内，C表示一个危险临界点，
∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“
危险角”时，就有可能触礁。
P
弓形所含的圆周角
C
∠C=50°,问船在航行时
怎样才能保证不进入暗
礁区?
E O
A
B
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？
P
E C
O
A
B
１.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分 ∠ABC,且AB∥CD.求证:AB=CD
D C
A
B
２.说出命题“圆的两条平行弦所夹的弧相 等”的逆命题.原命题和逆命题都是真命题 吗?请说明理由.
1.如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO的 中点,DE // AB,求证: E⌒C=2⌒EA.
C
ED
A
O
B
2.已知BC为半圆O的直径，AB=AF,AC交 BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF 于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什 么？