1
4
F rM (M 0M)dM
作为 M 0的函数，记
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R (M 0 ) 4 1 u (M ) n r M 1 0 M r M 1 0 M u (n M ) dM S
V(M 0)41F rM (M 0M)dM
因为 1 rM 0 M
是
基
本
解
，
则对M 0 ，有
u(M0)21u(M)n lnrM 10MlnrM 10Mu(n M )dM s
1
1
2lnrM0Mu dM
当u是内的调和函数时，即u 0时，若M0 ，则
有 u (M 0 ) 2 1 u (M ) n lr n M 1 0 M lr n M 1 0 M u (n M ) d M s通区域\ NhomakorabeaK 中，v
r
1
M0M
0。
K
在复连通区域 \ K中对上述函数u和
v 应用 Green 第二公式，得
\K u 1 r 1 r u d u n 1 r 1 r n u dS(2.5)
其中 1 1 。 r rM0M
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(2 .5 )式 左 u 边 1 1 u d 1 u d
若u F (M )，则当M0 时：
(2.7)
u(M0)41u(M)nrM 10MrM 10Mu(n M )dSM
1
4
F rM (M 0M)dM
(2.8)
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补：二维空间上的基本积分公式以及调和函数的 基本积分公式
设是 R2中的有界开集， ，u C 2 () C1()，
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记u
1 ()
udS ，
u n
1
()
nudS ，其中
()表
示
的面积，即
u和
u n
分别为
u和
nu在
上的
平均值，则
u n 1 r 1 r n u d S (2 )u ( ) n u
因为lim u 0
u(
格林第二公式：u ( v) v( u )d u n v v n u dS
其中n是 的单位外法向量。
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2)调和函数的积分表达式
考察函数
1
1
v(x, y,z)
rM 0 M
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
容易验证，当 M ( x, y, z) M0 ( x0 , y0 , z0 ) 时，
\K r r
r \K
(2.5)式右 边 un 1 r1 r n u dS
K
un 1 r1 r n u dSun 1 r1 r n u dS
注意到在
上，
1 r
1
，n
1 r
r
1 r
1 r2
1 2
\K 1 r u d u n 1 r 1 r n u d S 1 2 u d 1 S n u dS
调和函数基本积分公式 上页 下页 返回
当u是内的调和函数，M 0 ，则由格林第二公式 有：
u (M ) n rM 1 0M rM 1 0M u (n M ) d S0
当u是内的调和函数，M0 ，类似基本积分公 式的推导，记 ， \ K ，则有
u n 1 r 1 r n u d S 1 2 u d1 S n u dS
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记u
1 42
udS
，
nu
1 42
nudS
，即 u 和
nu
分别为u
和
nu在
上的平均值，则
\K 1 r u d u n 1 r 1 r n u d 4 S u 4 n u
令 0，则
1 r u d u n 1 r 1 r n u d S 4 u (M 0 )
M
0
)
，lim 0
( 4
)
2
1 ，上式两边令 2
0，
得
u n 1 r 1 r n u d S 2 u (M 0)
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综上所述，设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界 区域，u u( x, y, z) C 2 () C1()，若u 0，则：
u n rM 1 0M rM 1 0M n u dM S 4 0 2 u u ((M M 0 0) )( ((M M M 0 0 0 )))
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从而有：
u(M0)41u(M)nrM 10MrM 10Mu(nM )dS
11
ud
4 rM0M
基本积分公式
当u是内的调和函数时，即u 0时，若M0 ，则
u (M 0) 4 1 u (M ) n rM 1 0 M rM 1 0 M u (n M ) dS
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3) 泊松方程
利用基本积分公式(2.8)很容易导得泊松方程的一个
特解表达式。
事 实 上 ， 设 有 函 数 u(M ) C 2 () C1() ， 满 足
u F ，其中F C 0 ()，由(2.8)，对M0
u(M0)41u(M)nrM 10MrM 10Mu(n M )dSM
所
以
M0
1 rM 0 M
v 0。（见P73 习题 1）称 v 1 为三维拉普拉斯 rM 0 M
方程的基本解。
设 u u( x, y, z) C 2 () C1() ， M0 ( x0 , y0 , z0 ) 是 内一定点。
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为利用
Green
第二公式，取
充分小，使得以
M
为球心，
0
半径为的球 K 的球面与的边界不相交，则在复连
§2 格林公式及其应用
1. 格林(Green)公式 2. 平均值定理 3. 极值原理 4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性
1.格林公式
1) 格林公式的推导
高斯公式： A d A d S (A n )dS
由于 uv uv u v，则由高斯公式可得
格林第一公式： u ( v)d u n v d S u v d