o
Dn x
n

Pd界)
L Pdx Qdy
证毕
格林公式

D

Q x

P y

dxd
y


L
P
dx

Q
d
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A

1 2

L
xd y

y
dx
例如, 椭圆
L
:
x

y

a cos b sin
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格
林公式 , 得
y

xdy ydx l x2 y2

xdy ydx Ll x2 y2

0d xdy 0
D1
lL
o
x
D1

2
0
r2
cos2 r 2
r2
sin2
d

2
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
即 d u(x, y) P dx Q dy (4) 在 D 内每一点都有 P Q .
y x
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L2
B
A
L1

L1

L
2
Pdx

Qd
y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
Pdx Qdy
B
Pdx Qdy
AB
A
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
o
x
x e y2 dy 1 ye y2 dy
OA
0
1 (1 e1) 2
例3. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则当x2 y2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时,由格林公式知 y L
ox
当(0,0) D时, 在D 内作圆周 l : x2 y2 r 2, 取逆时
y
x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
du xy2 dx x2 ydy
(x, y) 。
。

x
x 0 dx

y x2y dy
(0,0)
0
0
( x,0)
y x2 y dy 0
例6. 验证
x
dy x2

y y
d
2
x
在右半平面
(
x
>
0
)
内存在原函
数 , 并求出它.
同理可证 ②
①、②两式相加得:
D

Q x

P y
d xd y

L Pdx Qdy
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图
D
Q x

P y
d xd y
y D2 D1 L
n

Q P dxdy
k 1 Dk x y
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点( x0, y0 ) D及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
( x, y)
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x x4 dx y (6x2 y2 5y4 ) dy C
0
0
1 x5 2x2 y3 y5 C
y
5
(x, y)
作业 P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ;
o (x,0) x
5 (2) , (3) ; 6 (3) , (5)
备用题 1. 设 C 为沿 x2 y2 a2 从点 (0, a) 依逆时针
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pdx Qdy L
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
在 D 内是某一函数
的全微分,
b
(
x)
y d
E
AD B
cC
则
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Q dx
D x
c
1(y) x
oa
bx
d
d
c Q( 2 ( y), y ) dy c Q(1( y), y ) dy
Q(x, y)dy Q(x, y)dy
CBE
EAC
即
①
2xy dx x2 dy L
0dx dy
0
D
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令P 0, Q xe y2 , 则
y B(0,1)
A(1,1)
利用格林公式 , 有
D yx
x e y2 dy D
到点 (0,a) 的半圆, 计算
y2 dx ax 2 y ln(x a2 x2 ) dy
C a2 x2
解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 .
原式 =

CC C
y
C
D
a C
ox

D


a
2
2
y
x
2

d
x
d
y
a
a (2y ln a) d y a
区域为D , 则
原式
(x2 3y) dx (y2 x) dy
L AO
(x2 3y) dx ( y2 x) dy OA

4
D
dxd
y

4 x
2
0
dx
8 64
3
y L
D
o
Ax
例5. 验证
是某个函数的全微分, 并求
出这个函数.
证: 设P xy2, Q x2 y, 则 P 2xy Q
x
y

x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,它与L 所围
y
(x, y)
证: 令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x y2
则
P x

y2 x2 (x2 y2)2

Q y
( x 0 ) o (1,0)
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数

x
0 dx
1
x
y dy 0 x2 y2
或

y dy 0 1 y2
第三节
第十章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区 域 多连) 通区域 ( 有“洞”区
L D
域 D 边界L 的正域向) : 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P dxdy Pdx Qdy
D x y
L
( 格林公式 )

或
x y dxdy Pdx Qdy
DP Q
L
证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
D
:
1(

x) a

y x

2
arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) o (1,0) ( x,0) x
思考与练习
1. 设
y 2
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ?

xd y 4ydx l x2 y2
DL o 1 2x

1 4
l
x
d
y

4y
d
x

1 4
D 5d

5

xd y ydx l x2 y2