∫L Pdx + Qdy = ∫L
1
Pdx + Qdy
2
恒成立, 就说曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内
L
与路径无关, 否则说与路径有关.
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
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xdy − ydx , 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 2 2 L x +y 不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向.
例 4 计算 ∫
解 记L所围成的闭区域为D. 当(0, 0)∈D时, 在D内取一圆周l: x2+y2=r2(r>0). 记L及l所围成的复连通区域为D1, 应用格林公式得
§10.3 格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积
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一、格林公式
单连通与复连通区域 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
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格林公式:
∂Q ∂P ∫∫( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy .
D
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L, 则
A = 1 ∫ xdy − ydx . 2 L 例1 求椭圆x=acosθ, y=bsinθ 所围成图形的面积A.
解 设L是由椭圆曲线, 则
D
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L, 则
A = 1 ∫ xdy − ydx . 2 L
提示: 在格林公式中, 令P=−y, Q=x, 则有
− ydx + xdy = 2∫∫ dxdy , 或 A = ∫∫ dxdy = 1 ∫ xdy − ydx . ∫L 2 L
D
D
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L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域Df Chemical Technology
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y
证明(1)
若区域 D 既是 X − 型又 是Y − 型,即平行于坐 标轴的直线和 L至多交 于两点.
d x = ψ 1( y) A c o a
1 xdy − ydx = 1 2π (ab sin 2 θ + ab cos2 θ )dθ A= ∫ 2 ∫0 2 L 1 ab 2π dθ = abπ . = 2 ∫0
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格林公式:
∂Q ∂P ∫∫( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy .
AB
y
A
D
o
L
B
x
解 引入辅助曲线 L , L = OA+ AB+ BO
应用格林公式,
P = 0, Q = x 有
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用格林公式求闭曲线积分 xdy − ydx 例 4 计算 ∫ 2 2 , 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 L x +y 不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向. 解 记L所围成的闭区域为D. 当(0, 0)∉D时, 由格林公式得
E
y = ϕ 2 ( x)
D
B
x = ψ 2 ( y) Cy = ϕ 1 ( x ) x b
D = {( x , y ) ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b}
D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }
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1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy
L3
D3
D2
L2
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D1
L1
L
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证明(3) 证明(3)
单连通区域
在他的左边. 在他的左边 Jlin Institute of Chemical Technology
复连通区域
边界曲线的正向: 当观察者沿边界行走时,区域 区域D总 边界曲线的正向: 当观察者沿边界行走时 区域 总
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设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全 属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
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∂Q ∂P 两式相加得 ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D
证明(2) 证明(2)
若区域 D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 将 D 分成三个既是 X − 型又是 Y − 型的区域 D1 , D2 , D3 .
2
3
= ( ∫L + ∫L + ∫L )( Pdx + Qdy ) = ∫L Pdx + Qdy
2 3 1
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
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格林公式:
∂Q ∂P ∫∫( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy .
L3 D3 D2 L2
D
D1
L1
L
∫∫ (
D
∂ Q ∂P ∂Q ∂ P − )dxdy = ∫∫ ( − )dxdy ∂x ∂y ∂y D + D + D ∂x
1 2 3
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∂Q ∂P ∂Q ∂P ∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy + ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy + ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy D D D
∫ xe
dy
∫
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格林公式:
∂Q ∂P ∫∫( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy .
D
•简化曲线积分 简化曲线积分
例 3 计算 ∫ xdy ,其中曲线 AB是半径为 r 的圆在第一 象限部分.
⇔ ∫ Pdx + Qdy + ∫
L1
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L2
−
Pdx + Qdy = 0 ⇔ ∫
L1 + ( L2 )
−
Pdx + Qdy = 0 .
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
r 2 cos2 θ + r 2 sin 2 θ dθ =2π. r2
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关 设G是一个开区域, P(x, y)、Q(x, y)在区域G内具有一阶 连续偏导数. 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点 B的任意两条曲线L1、L2, 等式
L
意闭曲线 C 的曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 等于零.
L
这是因为, 设L1和L2是G内任意两条从 点A到点B的曲线, 则L1+(L2−)是G内一条任 意的闭曲线, 而且有
∫L Pdx + Qdy = ∫L Pdx + Qdy
1 2
⇔ ∫ Pdx + Qdy − ∫ Pdx + Qdy = 0
L1 L2
x = ψ1( y)
E D
x =ψ 2 ( y)
= ∫CBE Q( x , y )dy − ∫CAE Q ( x , y )dy
= ∫CBE Q ( x , y )dy + ∫EAC Q ( x , y )dy
= ∫L Q ( x , y )dy
c o
C
x
同理可证
∂P − ∫∫ dxdy = ∫L P ( x , y )dx D ∂y
D
其中L是D的取正向的边界曲线. >>>
定理证明
应注意的问题: 对复连通区域D, 格林公式右端应包括 沿区域D的全部边界的曲线积分, 且边界的 方向对区域D来说都是正向.