D
PdxP dxP dx
L
L 1
L 2
L 1:y1(x)
Oa
bx
b
a
a P [x ,1 (x )d x ] bP [x ,2 (x )d x ]
a b {P [x ,2 (x ) ]P [x ,1 (x )d ]x } DPydxdy.
2021/3/9
上页 下页 返回 结束
设 D :1 ( y 区 ) x 2 ( y )c 域 ,y d .
终位于他. 的左侧 D带有正向的边 为D 界 的曲 正线 向称 边.界曲
例 D 1 : 如 {x ,(y )x 2 y 2 1 } ,
z
正向边界为逆时针的 走单 向 位圆周{(x, y) x2 y2 1}.
2021/3/9
O
1y
x1
上页 下页 返回 结束
z
D 2:{x (,y)x2y21}
正向边界为顺时针走
第十一章
第三节(1) 格林公式及其应用
一、格林公式 二、格林公式的简单应用
2021/3/9
上页 下页 返回 结束
一、格林公式
1.单(复)连通区域及其正向边界
D设 为一平面 ,如区果 D域 内任意一条闭曲
所围的有界区D域 ,则都 称 D是 属平 于面单连通
域,不是单连通的称 平为 面复 区连 域.通区域
2021/3/9
上页 下页 返回 结束
情形三D是 复连通.区域
将 D沿辅A 助 割 B线 ,开 得到 L1以 BA L2A为 B
正向边界的 . 单连通区域
D(Q xPy)dxdy
L1
L2 A
B
D
P (x,y)d xQ (x,y)d y
L 1B A L 2AB
因P 为 (x ,y )d x Q (x ,y )d y 0 ,
D
0
2021/3/9
上页 下页 返回 结束
二、格林公式的简单应用
(1)简化曲线积分
例1 计算 x4dxxd yy,其L 中 是(以 0,0)(,1,0)(,0,1) L
为顶点的三正 角向 形 .边 区界 域的
解 记 L所围区 D,由 域格 为林公 1 y式
x 4 d xxd y( (x) y (x 4))d x d y
L
D x y
D
ydxdy 1dx1xydy1.
D
00
6
O
1x
2021/3/9
上页 下页 返回 结束
例2 计算 Lxdy,L是半径 r的为 圆周在第一
则有
D
Q x
Pdxdy y
L
Pdx
Qdy,
其中L是D的正向边界曲. 线
公式称为格林公式,是英国数学家、物理学家格林在 1825年发现的,是微积分基本公式在二重积分情形下的推 广.反应的是二重积分与区域边界曲线上的第二类曲线积 分的关系。结果是二重积分与曲线积分的計算可以互转。
2021/3/9
上页 下页 返回 结束
证 情 :区 D 既 形 域 X 型 是 一的 Y 型 .又 的 是
D : 1 ( x ) y 2 ( x ) a ,x b .
Pdxdybdx2(x)Pdy
Dy
a 1(x) y
y
b
a {P [x ,2 (x ) ]P [x ,1 (x )d ]x .}
L 2:y2(x)
微积分学基本公式 a b f(x )d x F (x )b a F (b ) F (a )
复习Newton-Leibniz公式： 这里 f(x)在[a,b]上连续
F (x )f(x )
一个重要的数学关系——区域内部的问题与边界
问题之间的联系
Newton-Leibniz公式的推广
函数：一元函数
二元函数
O
1
1 x
正向边界为逆时针走向
y 向的单位圆周 {(x, y) x2 y2 1}.
z
的圆周{(x, y) x2 y2 4} 与顺时针走向的圆周
1O 1 2 y
{(x, y) x2 y2 1}共同组成. x2 D 3:{x ,(y )1 x 2 y 2 4 }
2021/3/9
上页 下页 返回 结束
积分范围：[a,b]
边界: a,b
2021/3/ (x,y)dy
平面区域上的二重积分与区域
边界曲线上的曲线积分的关系。
上页 下页 返回 结束
2.格林公式
定理1 设闭区D域由分段光滑的曲 L所线围成, 函数P(x, y),Q(x, y)在D上具有一阶连续偏,导数
B A AB
P(x,y)dxQ (x,y)dy.
L 1L 2
定理得证.
2021/3/9
上页 下页 返回 结束
公D 式 Q x P y dxdyLP dxQ dy的重:要
1．格林公式的实质: 建立了二重积分与边
界曲线积分之间的联系.
2.给出了计算二重积分的新方法.
3.给出了计算第二类曲线积分的新方法.
D
D
单连通域
复连通域
从直观上看，单连通域是不含有“洞”的区域．
2021/3/9
上页 下页 返回 结束
D 是 x设 O 平 y面上 ,规 的 D 的 定 闭边 区界 域
的正:向如下 当人x站 O平 y立 面(于 位 上于 z轴正向所指
侧)并 , 沿边界的这 前一 行方 进 ,邻向 时 近朝 处 D始的
类似地可证
y
D
Qdxdy x
LQdy.
d x1(y)
由于区D域既是X型又 c
是Y型的,两式相加则有 O
D
x2(y) x
D Q x P y dxdyLP dxQ dy
2021/3/9
上页 下页 返回 结束
情形D 二 既 X 不 型 区 是 的 域 Y 又 型 ,但 不 的
是是单 . 可使以得用每连 辅个助部曲分线闭把区通 域D分都成满有足限上区 个述部条分件闭。区域 域，
添 在 X 加 型 Q 每 D 辅 又 i 上 P ,助 个 Y 是 有 d x Dd 线 型 分 y 将 的 割P 部 成 dx 分 有 Q .d 区 限 y, 域 个D既 1 是 CABDD23
因 D ix 为 y
L i
P dxQ dy0,
ACCBB A
对i求和有D Q x P y d xd yLP d xQ d y.
格林公式便于记忆的形式
x ydxdyLP(x,y)dxQ (x,y)dy.
DP Q
2021/3/9
上页 下页 返回 结束
例: 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L2xydxx2dy0
证: 令 P2xy,Qx2, 则
Q P 2x2x0 x y
利用格林公式 , 得
L2xydxx2dy
0dxdy