用MATLAB 分析闭环系统的频率特性
1、等M 圆图与等N 圆图原理
1.1设有单位系统如图1示。
其闭环频率特性G B (j )与开环频率特性G K (j )的关系为 )(j G 1)(j G )(j X )(j X )(j G K K i 0B ωωωωω+== (1)
图 1
可将其开环频率特性G K (j )写成
G K (j
)＝U （）＋jV() (2) 则闭环频率特性为
)(j B )e M(jV
U 1jV U )G (j 1)G (j )(j G ωαωωωω=+++=+= (3) 式中 M()——闭环的幅频特性
()——闭环的相频特性 闭环的幅频特性为
2
12222V )U (1V U |jV U 1||jV U |M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++= (4) 所以 222
22
V U)(1V U M +++= (5) 则有 2
22
2222
1)-(M M V )1-M M (U =++ (6) 显然,式（6）是一个元的方程,他表明了开环的实频U 、虚频V 和闭环的幅频M 之间
G K (j )
X i (j )
X 0(j )
的的关系，该圆方程的圆心坐标为（1M M 22－－，j0），半径为|1-M M |2。
当M 取不同的值时，便可以得到一簇圆，如图1，该图称为等M 圆图（邮称为等幅值轨迹图）。
有闭环的相频特性为
)V
U U V (tg )U 1V (tg )U V (tg )jV U 1jV U (221-1-1-++=+=+++∠=－α （7） 令22V
U U V tg N ++==α，上式可改为 22224N
1N )2N 1(V )21(U +=+++ （8） 可见式（8）也是一个圆方程，他表明了U 、V 与N 之间的关系。
该圆方程的圆心坐标为
｜。
－，半径为｜－1N )2N 1j ,21(2当N 取不同的值时，可画出一簇圆，如图2所示。
该
方法复杂，也不准确，我们用一个具体的力来说明一下用MATLAB 解决这类问题的方
法。
［例］求开环频率特性为1)
1)(0.2j (0.05j j 3)(j G k ++=
ωωωω的单位反馈系统的闭环频率特性。
2、用MATLAB 解决闭环系统频率特性 <以G(s)=10/s(s+1)(s^2/4+1)为例
这种传递函数是零极点描述形式，因而要使用sys=zpk(z,p,k)的命令形式 其中，z 为传递函数的零点向量[z1,z2,z3,...],描述形式为(s-z1)(s-z2)...
p 为传递函数的极点向量，k 为增益，因而在该例中,应首先化为标准形式，即 G(s)=40/s(s+1)(s+2i)(s-2i)，于是有(在命令行输入)
k=40;z=[];p=[0 -1 -2i 2i];
sys=zpk(z,p,k);就得到了传递函数>
例题的开环传递函数为 )
5)(20(300)(++=s s s s G 用MATLAB 编程和运行结果如下：
%MATLAB PROGRAM
%Create system model
sys=zpk([],[0 -20 -5],300);
sysclose=feedback(sys,1);
%Get frequency response of the system
w=logspace(-1,2);
bode(sysclose,w)
[mag,phase,W]=bode(sysclose,w);
[l,c]=size(mag);
mag1=zeros(c,1);
for i=1:c
mag1(i)=20*log10(mag(1,1,i)); end
%显示系统闭环的幅值穿越频率
disp('crossover frequency:');
Wc=interp1(mag1,W,0,'spline')
%显示谐振频率
disp('Resonance frequency:'); [mag2,i]=max(mag1);
Wr=W(i)
%显示谐振峰值
disp('Resonance magnitude:') Magmax=mag2
%显示-3dB截止频率
disp('-3dB frequency:');
W_3db=interp1(mag1,W,-3,'spline') [l,c]=size(phase);
pha1=zeros(c,1);
for i=1:c
pha1(i)=phase(1,1,i);
end
%显示-90度截止频率
disp('-90 phase frequency:');
W_90=interp1(pha1,W,-90,'spline')运行结果：
>> crossover frequency:
Wc =
0.1763
Resonance frequency:
Wr =
2.5595
Resonance magnitude: Magmax =
0.7477
-3dB frequency:
W_3db =
9.5479
-90 phase frequency:
W_90 =
3.4641
如果在上述的M文件中再加下面几行，可以绘制Bode图并在图中标出幅值裕度和相位裕度，以及可求出相位角阶频率W cg和幅值交界频率W cp，W cg是指Bode图的相频曲线穿越－180时的频率，W cp是指Bode图的幅值曲线穿越0分贝线时的频率。
figure(2)
margin(sys)
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)
运行结果为：
Gm =
8.3333
Pm =
54.7410
Wcg =
10.0000
Wcp =
2.6320
由此我们可以很容易的判断系统的稳定性。
3、结束语
MATLAB是一种面向科学和工程计算的计算机语言，它具有强大的计算功能、计算结果和编程可视化及极高的编程效率，它包含有几十个工具箱，可以直接调用各种函数，是计算简单且精确。
本文就是利用编写MATLAB的M文件，来解决控制问题，使以前复杂的问题得到了简化。