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分）一．（本题满分10请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。
其中状L态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感的电流强度。
2
【解答】根据基尔霍夫定律得：uLx?Rx?x??3111
?x?Lx?Rx?3222
?xx?Cx??213
1R1?ux?x??x??
311LLL
?1111R?x??x?x?232x?y，输出方程为改写为LL
?222?11x?x?x? 123CC?
写成矩阵形式为
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?R1??1??0?????LL?????11Lxx??????111
?1R??????u?x?0?x0?????????22LL
?????22????0xx???????33??11
???0?????
?CC???x???1?????x1y?00???2???x???3
10分）二．（本题满分单输入单输出离散时间系统的差分方程
为)k2r(r?3y(k)?(k?1)??y(k2)?5y(k?1)
回答下列问题：）求系统的脉冲传递函数；（1 ）分析系统的稳定性；
（2)y?(kx(k))r(kx(k)?x(k?1)?，，（3）取状态变量为求系统的状态空间表达式；112（4）分析系统的状态能观性。
【解答】z变换有：1（）在零初始条件下进行????2 )z?2)?zRz(?5z?3zY(2?(Yz)z?系统的脉冲传递函数：
23R(z)z?5z?（2）系统的特征方程为20?5?z?3zD(z)?
1z?0.7?z?4.3??z，，所以离散系统不稳定。
，特征根为211)(k1)?rx)?y(k)x(k)?(k?(xk 3）由，，可以得到（1211)(k??(k?1)y(k?2)?r?kx(?1)?x(k2)?r12由已知
得)?1)?3x(kk(?2rk)?5x()k3?1)?y(k?r??(yk?2)r(k1)?2(k)5y(11??)x(k?5)x(k?r(k)3?)2?r(k)(x ?5(k)?3rkk3??x()2112于是有：)k3(?(?1)?3xk)5xk)?r(?(xk221又因为)?k(??(xk1)x)r(k21所以状态空间表达式为更多精品文档．
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?x(k?1)x(k)101????????11??r(k)?????????x?3?3?5(x(k)k?1)?????????22
?x(k)?????101y(k)????x(k)???2（4）系统矩阵为0101??????????，输出矩阵为0c?110?0G?cG?1，?????3?5?3?5????c10????能观性矩阵为，，系统完全能观。
2Q?rank??Q????oo cG01????
三．（本题满分10分）
回答下列问题：
（1）简述线性系统的对偶原理；
（2）简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系；
r?2rr阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？输出（3）输入【解答】
（1）若线性系统1与线性系统2互为对偶，则系统1的能控性等价于系统2的能观性，系统1的能观性等价于系统2的能控性。
（2）若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳定，则状态未必稳定。
当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。
r?2rrr个独立的单输入单输出系统。
输入）输出阶线性解耦系统等效于（3 四．（本题满分10分）
x?x?x cos x?2211?，判
断该系统在坐标2阶非线性系统，其状态方程为设有一个x?x?22
原点处的稳定性，并证明你的判断。
【解】此系统在坐标原点处不稳定。
【证明】
22?x?xV(x)，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为：取李雅普诺夫函数21??222x2x cos x?2x??2x?2xxxxx?cos?xV(x)?2x?2xx2 21212212222111
11????22222222x2x?x coscos xx?2x?x cos?x?x?2xx2x?x cos x???2222211222122142??更多精品文档．
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211????22xx2?cos2x?x cos x??????2222122????显然是正定的，所以该系统在坐标原点处不稳定。
10分）五．（本题满分设某控制系统的模拟结构图如下，
试判断系统的能控性、能观性和稳定性。
【解答】根据模拟结构图可得状态空间表达式u3x???2x?x?211
?u?x??x?12
xy?1写成矩阵形式为
?xx13?2????????11?u?
?????????xx10??1?????????22
? x?????10y?1???x???2123????????bA?0?1c????，，。
110??????系统的特
征方程为?3??2??2???0?3?det??IA?2??1显然系统渐近稳定。
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1?5?????AbbQ?Q??满秩，所以系统状态，显然，系统的能控性矩阵为cc?1?1??完全能控。
c10????Q??Q????，显然，系统的能观性矩阵为满秩，所以系统状态完全能
观。
oo cA?23????
六．（本题满分10分）
某系统的状态空间表达式为
001????x?x?u????1?60
????
??x0y?1?10。
设计一个全维状态观测器，使观测器的两个极点均为【解答】设全维观测器方程为
??ll010????????????11x?u?yx??01??????????
ll60?1????????????22?l0l1??????
11x?x?u?y??????
1?6?ll0??????22
观测器特征多项式为
???0l?l??????112????l???6det?I?l????12??6?l?1l61????????22观测器期望特征多项式为
2??2????10100??20?
根据多项式恒等的条件得6?l?20?2?l?100?1l?100?1?，全维状态观测器方程为解得l?14?2更多精品文档．
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0?1001100??????x?x?u?y??????
1401?20??????
七. （本题满分10分）
证明对于状态空间表达式的线性变换，其特征方程保持不变。
【证明】设原线性系统为
x?Ax?Bu?? Du?y?Cx????A0sI?det其特征方程为x?Tz，变换后的线性系统为设线性变换为
?1?1?BuTATzz?T??
Du?yCTz??该系统的特征方程为
??1??0det ATsI?T
写成
??1??1?0ATT?det TsT
??1????0Ts det IT?A????????1??ATT det0det sI det? ??????1??A0det sTI detdet T?
????1??0IT?detdet ATs
?????0?det As det II
???A0sI?det
显然，其特征方程保持不变。
证毕
八. 10（本题满分分）开环系统的结构如图所示：
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5.65t?秒时间过跃响应的渡过程的状态反馈方法，使闭环系统单位阶试用
s5??4.32%?0.02??。
求状态反馈控制律），超调量为，其中一个闭环特征值为（P 的数学表达式。
【解答】将上述方块图该画成模拟结构图，如下：
x?x?21
?xx?5x??5?322
?u?2x??x写成状态空间表达式为，即?33
?xy??1
?0001??????????u x?x0?550?????
?????200?1????????x010y??
5.65t?0.02??，可得：秒（）闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间
??0.707?，，s??nn
s45.65??t
???2??1???1?4.32%??e0.707?。
期望闭环特征多项，所以超调量为，解得????????222?????1s2?s5s?2ss??s?5nn更多精品文档．
nP式为
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????2*35s5?2s??1?f5(s)?s2???xkkku?设状态反馈控制律
为，代入可得闭环系统的状态方程312
010????x?5x?50??
??12k?2k2k??312
闭环特征多项式为100?s0?0????????????
0det?ssI?A0?05?5f(s)?det??????
??????k2202k?10sk??????12301s?????0s??5det?5????23k???s?6?2ks105 ?10k?k10s??3321??k?21?2k?s?2k??231?6.414??2526?k?3??
8.07??510k10k2?15???32根据多项式恒等条件可得：
?5?10?k?1?0.5k???1?0.1k???解得：，状态反馈控制律为2?0.207?k??3 ??x?0.1x0.207?x?x k?ku?k0.5。
332121
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