a // b a b( R) a // b a b( R)
a1 b1,a2 b2( R); a1 b1,a2 b2,a3 b3( R);
a b ab 0
a b ab 0
ab a b 0 ab a b a b 0
2．空间向量的平行和垂直的条件
1， a / /b(b 0) a b
例 1．已知 a =(1，1，0)， b =(0，1，1)， c =(1，0，1)， p = a － b ，q = a +2 b － c ， 求 p, q, p q 。
p (1, 0, 1)
q (0, 3, 1)
p q 1
探究二：垂直与平行问题
平面向量运算的坐标表示： 空间向量运算的坐标表示：
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
平面向量的正交分解及坐标表示 y
a
a xi y j
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0). i
空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，
使 p xa yb zc.
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
a, b, c都叫做基向量
z
从空间某一个定点０
引三条互相垂直且有相
同单位长度的数轴，这
o
样就建立了空间直角坐
y
标系０－xyz．
x
点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做
坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标
平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox
优秀个人与小组
小组 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
学案完成情况
齐浩、孟晗、周夏槿 朱若瑜
王善航、韩信 董坤霞、王磊 费振豪、张孝莹、 李爱敏、胡晔文 高慧、于晴 孙庆帅、陈硕
郭晓东 黄鑫鑫、潘毅
得分 3 1 2 2 2 2 2 2 1 1
复习
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
p xi y j zk
k
O
xi
j
y 记 p (x, y, z)
y OP ( x, y, z)
x
P(x, y, z)
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2),
则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
合作学习（5分钟）
重点讨论内容及时间
展示
1 类比平面向量的坐标表示，在在棱长为1的正 投
平面．
空间直角坐标系的画法:
z 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350 o
x轴上的单位长度为y轴（或z
1350
y
轴）的单位长度的一半． x
探究一：空间直角坐标系与空间向量的坐标表示
单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂
直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交
设a
a
(a1
,
a2
),
a
b
a
(b1
,
b2
)则
设a (a1,a2,a3 ),b (b1,b2,b3 )则
a aa
a22
;类
比
a12 a22 a32;
ab
ab
cos a,b a b
a1b1 a2b2
推 广
cos
a,b
ab
a1b1 a2b2 a3b3
a12 a22 b12 b22; a12 a22 a32 b12 b22 b32;
0 0
，这个方程组有三个
未知数，但只有两个方程，不妨把未知数 x 当
换用坐标表示，得
a
/
/b(b
0)
aa21
b1 b2
a3 b3
2， a b a b 0
换用坐标表示，得
a b a1b1 a2b2 a3b3 0
已知 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，a、b 共线的充要条 件为aa12＝bb12＝cc12，对吗？
答案 不对．∵a2，b2，c2 中会有为零的情况，只有 b 与三 个坐标平面都不平行时，条件才是充要的．
方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标 影 系，求各个顶点的坐标（1分钟）
2 如何根据图形在空间中任意一点P的坐标（2 投
分钟）
影
讲
解
3 谈论探究一思考（2），并总结平行于x轴，y 投
轴，z轴的向量的的坐标特点（2分钟）
影
讲
解
探究一
平面向量运算的坐标表示： 空间向量运算的坐标表示：
设a (a1,a2),b (b1,b2)则 设a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3)则
a
b
(a 1 b1 , a2
b2
);
类 比
a
b
(a 1b1,a2
b2 ,a3
b3) ;
a b (a1b1,a2 b2 ); 推 a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2 ) ; 广 a (a1,a2 ,a3 ) ;
a b a1b1 a2b2 ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
例 2．已知向量 a =(－2，2，0)， b =(－2，0，2)，
求向量 n ，使得 n ⊥ a 且 n ⊥ b 。
解：设 n =(x，y，z)，
则 n a =(x，y，z)·(－2，2，0)=－2x+2y=0，
n b =(x，y，z)·(－2，0，2)=－2x+2z=0，
解方程组
x x
y z
单击此第处三添加章标空题间向量与立体几何
★导学案，直尺，铅笔 ★课前准备
1）订正学案 今日赠言：每学到一个数学难点的时 候，尝试着对别人讲解这个知识点并 让他理解——你能讲清楚 才说明你真的理解了。
3.1.4 空间向量的直角 坐标运算
章丘七中高二数学备课组
学习目标
1. 理解空间向量与有序数组之间的一一 对应关系； 2. 能用坐标表示空间向量，掌握空间向 量的坐标运算． 3. 能运用向量的坐标运算判断向量的共 线与垂直． 重点：空间向量的坐标运算 难点：空间向量的坐标运算．
基底，常用 {i, j, k } 来表示.
k
空间向量 p
i, j, k
为基底 i
j
有序实数组
一一对应
(x, y, z)
p xi y j zk
因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系
以 i, j, k 为单位正交基底
z
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p P(x, y, z)
i, j,k 为基底 ( x, y, z)