第六节 空间向量
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈
运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a
++=++
⑶数乘分配律：b a b a
λλλ+=+)(
3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共
线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a
//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，
使a ＝ 。
4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是 的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数
,x y ，使 。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数
,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组
(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作
(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用
{,,}i j k 表示。
（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，
112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++，
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。
②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =
⋅=+21||b b b b =⋅=+（5）夹角公式：21cos ||||a b
a b a b a ⋅⋅=
=⋅+。
（6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，
则2
||(AB AB =
=，
或,A B d = 7. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作
,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，
显然有,,a b b a <>=<>；若,2
a b π
<>=
，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。
（2）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。
（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记
A
D
E
F
N
作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。
（4）空间向量数量积的性质：
①||cos ,a e a a e ⋅=<>。
②0a b a b ⊥⇔⋅=。
③2
||a a a =⋅。
（5）空间向量数量积运算律：
①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅。
②a b b a ⋅=⋅（交换律）。
③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。
典例精析
例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A ''''，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。
⑴AB BC +； ⑵AB AD AA '++； ⑶12AB AD CC '++
； ⑷1
()3
AB AD AA '++。
例2. 已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且
2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG 。
例 3. 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，
4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC
的夹角的余弦值。
说明：由图形知向量的夹角易出错，如,135OA AC <>=易
错写成,45OA AC <>=，切记！
例4. 长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11AC 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求长方体的高1BB 。
例5如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点
M,N
分别在对角线
BD,AE
上，且
AE AN BD BM 3
1
,31==. 求证：MN//平面CDE
分析：要证明线面平行，只需证明MN 与DE DC ,共
G
M C'
B'
A'
D'
D
A
B
C
O
A
B C
/
D
面。
1. 已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .
2、已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++；
（2）1()2AB BD BC +
+； （3）1
()2
AG AB AC -+。
3. 如图，在正方体///B D CA OADB -中，，点E 是AB 与OD 的交点,M 是OD /与CE 的交点，试分别用向量,,表示和
4、已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，
－1，5）。
⑴求以向量,AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ；
⑵若向量a 分别与向量,AB AC 垂直，且|a |＝3，求
向量a 的坐标。
5. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300
，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.。