河北省衡水中学2008-2009学年度第一学期期末考试高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷 （选择题 共60分）一、 选择题：（本大题共12小题，在每个小题所给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确的选项选出，将其代码填涂到答题卡上.每小题5分，共60分）1. 设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B 是U B A C U =Y )(的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件2. 设0ab ≠，化简式子()()()61531222133ab baba ••--的结果是A 、1ab -B 、()1ab - C 、a D 、1a -3. 设1a <-，则关于x 的不等式()10a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为 A 、1,x x a x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 B 、1x x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C 、1,x x a x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或D 、1x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4. 定义在R 上的函数()y f x =在()0,2上单调递减，其图象关于直线2x =对称，则下列式子可以成立的是A 、()15322f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 、()51322f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 、()15322f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 、()51322f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5. 如果函数()12x f x a-=+的反函数的图象经过定点P ，那么P 点的坐标为A 、()2,5B 、()1,3C 、()5,2D 、()3,16. 若一个等差数列前三项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有A 、13项B 、12项C 、11项D 、10项 7. 函数2212x x y -++⎛⎫=⎪⎝⎭的单调增区间是⊂≠A 、1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C 、[)2,+∞ D 、(],1-∞-8. 若方程250x x m -+=与2100x x n -+=的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则mn的值为 A 、4 B 、2 C 、12 D 、149. 函数()221y x x x =-≤的反函数为A、()11y x =≥- B、()11y x =≥- C、)11y x =≥- D、)11y x =-≥-10. 对任意实数x ，若不等式21x x k --+<恒成立，则实数k 的取值范围是A 、3k ≥B 、3k >C 、3k ≤-D 、3k <-11. 已知()()()()3141log 1a a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是A 、()0,1B 、10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D 、1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭12. 若数列{}n a 满足321n n n na a k a a +++⋅=⋅(k 是常数，*n N ∈)，则称{}n a 为邻积等比数列。

如果甲：数列{}n a 是邻积等比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，那么A 、甲是乙的充分条件但不是必要条件B 、甲是乙的必要条件但不是充分条件C 、甲是乙的充要条件D 、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件第II 卷 （非选择题 共90分）二、填空题：（本题共4个小题，请将正确答案填在横线上。

每小题5分，共20分）13. 函数()22log 65y x x =-+的值域为__________ 14. 已知110lg lg lg lg 1032=++++x x xx Λ，则()()()=++++1032lg lg lg lg x x x x Λ15. 已知()f x是指数函数，且((119f f +⋅=，则((22f f +⋅的值为________16. 定义在*N 上的函数()x f ，满足()11=f ，且()()()1,21, f x x f x f x x ⎧⎪+=⎨⎪⎩为偶数为奇数，则()=22f _______三、解答题：（本题共6个小题，共70分） 17. （本小题满分10分）计算：（1）2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++（2）11203217(0.027)()(2)1)79----+-18. （本小题满分12分）已知命题1:()p fx -是()13f x x =-的反函数，且()12f a -<，命题:q 集合(){}2|210,,A x x a x x R =+++=∈{}Φ=>=B A x x B I 且,0|,求实数a 的取值范围，使命题,p q 中有且只有一个是真命题.19. (本题满分12分)已知函数)11lg(21)(xx x f +-+=（1）求此函数的定义域；（2）判断该函数的单调性并用定义证明； （3）解关于x 的不等式21)]21([<-x x f .20. （本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 中，11=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*N n ∈，有)(222R p p pa pa S n n n ∈-+=（1）求常数p 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）记433nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21. （本小题满分12分）为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到 底，当地沙漠绿化了40%，从 开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg 20.3=，最后结果精确到整数.）22. （本小题满分12分）设二次函数()2f x ax bx c =++满足条件：①当x ∈R 时，)2()4(x f x f -=-；②当x ∈()2,0时，21()2x f x +≤，且()f x x ≥；③()x f 在R 上的最小值为0． （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m ，使函数()()(1)g x f x m x =--41≥在区间[],2m m +恒成立？若存在，求m 的取值范围，若不存在，请说明理由．河北衡水中学2008-2009学年度第一学期期末考试高一数学答案1-5 ACADD 6-10 ABDCB 11-12 CB13. 答：R 14. 答：1122- 15. 答：81 16. 答：101121024= 17（本小题满分10分）计算：（1）2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++ =1……………………………….5分（2）11203217(0.027)()(2)1)79----+- = －45 …………………….10分18（本小题满分12分）已知命题1:()p fx -是()13f x x =-的反函数，且()12f a -<，命题:q 集合(){}2|210,,A x x a x x R =+++=∈{}Φ=>=B A x x B I 且,0|,求实数a 的取值范围，使命题,p q 中有且只有一个是真命题. 解：若1()fx -是()13f x x =-的反函数，则11()3xf x --=由()12f a -<得123a-<即57a -<<-------------3分 若(){}2|210,,A x x a x x R =+++=∈{}Φ=>=B A x x B I 且,0| 则A 中的方程无解或两根都是非正根即2(2)40a ∆=+-<或2(2)40(2)010a a ⎧∆=+-≥⎪-+≤⎨⎪≥⎩解得4a >---------------6分因为p ，q 中有且只有一个是真命题，即“p 真q 假”或“q 真p 假” ，所以5757,44a a a a a -<<≤-≥⎧⎧⎨⎨≤->-⎩⎩或或-----------10分 即547a a -<≤-≥或 -----------12分19(本题满分12分)已知函数)11lg(21)(xx x f +-+=（1）求此函数的定义域；（2）判断该函数的单调性并用定义证明； （3）解关于x 的不等式21)]21([<-x x f . 解：(1)由011>+-xx，得11<<-x ， ∴函数()x f 的定义域为(－1，1)；…………………….2分 (2)证法一：设1211x x -<<<，则()()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=-211221212*********lg 1111lg 11lg 2111lg 21x x x x x x x x x x x x x f x f ………………………….4分 ∵1211x x -<<<，∴01,01,02112>->+>-x x x x ， ∴()()11112112>-+-+x x x x ，∴()()0111lg 2112>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+x x x x ，∴()()21x f x f >，………………………………………….6分 ∴()x f 在（－1,1）上是减函数………………………………………7分 证法二：设1211x x -<<<，则()()()()()()121212121212211111lg lg 21211111lg lg 1111x x f x f x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---=+-+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦-+⎛⎫-+==⋅ ⎪+--+⎝⎭∵1211x x -<<<，∴2111x x -<-<-<， ∴12210112,0112x x x x <+<+<<-<-<∴1221111,111x x x x -+>>-+，即122111111x x x x -+⋅>-+， ∴122111lg 011x x x x ⎛⎫-+⋅>⎪-+⎝⎭，即()()12f x f x >，∴()f x 在（－1,1）上是减函数。

（3）∵()210101lg 210=+-+=f ，…………………………………..8分 ∴原不等式可化为()021f x x f <⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 又()x f 在（－1,1）上是减函数，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-0211211x x x x ，……………………………………………….10分由此解得04171<<-x 或417121+<<x ， ∴不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<<<<-41712104171|x x x 或……………………12分 20（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 中，11=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*N n ∈，有)(222R p p pa pa S n n n ∈-+=（1）求常数p 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）记433nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）由p pa pa S a n n n -+==21221及，得1,22=∴-+=p p p p …………………………………2分（2）由,1222-+=n n n a a S ① 得)2(,1221211≥-+=---n a a S n n n ②① - ②得1212)(22---+-=n n n n n a a a a a0)122)((11=--+∴--n n n n a a a a ………………………4分由于数列{}n a 各项均为正数，21,012211=-=--∴--n n n n a a a a 即)2(≥n ∴数列{}n a 是首项为1，公差为21的等差数列…………………………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为21+=n a n ……………………………7分（3）由(2)得(3)4n n n S +=4333nn n n S b n n ∴=⋅=⋅+ ………………………………………………8分213233n n T n ∴=⨯+⨯++⨯L 231313233n n T n +∴=⨯+⨯++⨯L1132()3,22n n T n +∴-=---……………………………………10分1(21)3344n n n T +-=+即…………………………………………12分21（本小题满分12分）为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到 底，当地沙漠绿化了40%，从 开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg 20.3=，最后结果精确到整数.） 解：设从 开始每年改造后该地区的绿洲面积构成数列{}n a则 底该地区的绿洲面积为111(140%)12%(18%)40%25a =-+-=………2分 经过n 年后绿洲面积为11(1)12%(18%)n n n a a a --=-+-即143(2)525n n a a n -=+≥整理得1343()(2)555n n a a n --=-≥…………………………………4分所以3445255n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是一个以首项，为公比的等比数列 所以134414)()525555n n n a --=--=-（ 即143()555n n a =-+…………………………………………………6分由11431,()25552n n a >-+>即得41()52n <………………………………8分 41lg()lg 52n <即lg 213lg 2n >-…………………………………10分 0.33130.3n >=-⨯………………………………………11分所以至少经过4年才能使该地区的绿洲面积超过50%…………………………12分 22（本小题满分12分）设二次函数()2f x ax bx c =++满足条件：①当x ∈R 时，)2()4(x f x f -=-；②当x ∈()2,0时，21()2x f x +≤，且()f x x ≥；③()x f 在R 上的最小值为0． （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m ，使函数()()(1)g x f x m x =--41≥在区间[],2m m +恒成立？若存在，求m 的取值范围，若不存在，请说明理由． 解：(1) ∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x = -1对称，∴12-=-ab即b =2a ………1分 由③知当x = -1时, y =0，即a -b +c =0； …………………………….2分 由②得 f (1)≤1. f (1)≥1∴f (1)=1，即a +b +c =1，…………………………….3分∴a =41 b =21 c =41， ∴f (x )=4121412++x x …………………………….6分（2）设2113()()()442h x g x x m x =-=+-，其图象的对称轴23x m =-则原题转化为()0h x ≥在[],2m m +恒成立…………………………8分 ①当23m m -<，即3m <时，由()0h m ≥解得02m ≤≤……………9分②当232m m ->+，即5m >时，由(2)0h m +≥解得823m -≤≤（舍）………….10分 ③当232m m m ≤-≤+，即35m ≤≤时，由(23)0h m -≥解得32m =（舍）…………11分综上：m 的取值范围为02m ≤≤…………………………….12分。