7.8 机械能守恒定律 学案
1．如图所示，在伽利略斜面实验中，球沿斜面下滑时，重力做______，物体的动能________．重力
势能________，球沿斜面上滑过程中，重力做______，物体的动能________，重力势能________．如果忽略空气阻力和摩擦阻力，球在A 、B 两斜面上升的高度________．
2．如图甲所示，以一定速度运动的小球能使弹簧压缩，这时小球________________做功，使动能转
化成弹簧的____________；小球速度变为零以后，被压缩的弹簧又能将小球弹回(如图乙所示)，这时弹力对小球做__________，又使弹簧的____________转化成小球的________．
3．在自由落体运动或抛体运动中，物体从高为h 1的A 处运动到高为h 2的B 处，重力做功等于重力势
能的变化的负值，即________________，此过程也可由动能定理得到重力做功等于物体动能的变化，即W ＝________________，所以有E p 1－E p 2＝E k 2－E k 1，即E p 1＋E k 1＝________________.
4．在只有________________做功的物体系统内，动能与势能可以相互________，而总的机械能保持不变，这叫做机械能________定律，其表达式可以写成E k 1＋E p 1＝___或E k 2－E k 1＝________________.
5．关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法正确的是( )
A ．只有重力和弹力作用时，机械能才守恒
B ．当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能就守恒
C ．当有其他外力作用时，只要其他外力不做功，机械能就守恒
D ．炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒
6．从h 高处以初速度v 0竖直向上抛出一个质量为m 的小球，如图所示．若取抛出处物体的重力势能为0，不计空气阻力，则物体着地时的机械能为( )
A ．mgh
B ．mgh ＋12mv 20
C .12mv 20
D .12mv 20
－mgh 7．质量均为m 的甲、乙、丙三个小球，在离地面高为h 处以相同的动能在竖直平面内分别做平抛、竖直下抛、沿光滑斜面下滑的运动，则( )
A ．三者到达地面时的速率相同
B ．三者到达地面时的动能相同
C ．三者到达地面时的机械能相同
D ．三者同时落地
【概念规律练】
知识点一 机械能守恒的判断
1．机械能守恒的条件是“只有重力对物体做功”这句话的意思是( )
A ．物体只能受重力的作用，而不能受其他力的作用
B ．物体除受重力以外，还可以受其他力的作用，但其他力不做功
C ．只要物体受到的重力做了功，物体的机械能就守恒，与其他力做不做功无关
D ．以上说法均不正确
2．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A ．甲图中，物体A 将弹簧压缩的过程中，A 机械能守恒
B ．乙图中，在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，物体B 机械能守恒
C ．丙图中，不计任何阻力时，A 加速下落，B 加速上升过程中，A 、B 组成的系统机械能守恒
D ．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
知识点二 机械能守恒定律
3．如图所示，在地面上以速度v 0抛出质量为m 的物体，抛出后物体落到比地面低h 的海平面．若以地面为参考平面且不计空气阻力，则( )
A ．物体落到海平面时的重力势能为mgh
B ．重力对物体做的功为mgh
C ．物体在海平面上的动能为12mv 20
＋mgh D ．物体在海平面上的机械能为12mv 20
4．假设过山车在轨道顶点A 无初速度释放后，全部运动过程中的摩擦均可忽略，其他数据如图所示，求过山车到达B 点时的速度．(g 取10 m /s 2)
【方法技巧练】
一、链条类问题的分析方法
5．如图所示，总长为L 的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端A 、B 相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？
二、系统机械能守恒问题的分析方法
6．如图所示，A 、B 两球质量分别为4m 和5m ，其间用轻绳连接，跨放在光滑的半圆柱体上(半圆柱体的半径为R)．两球从水平直径的两端由静止释放．已知重力加速度为g ，圆周率用π表示．当球A 到达最高点C 时，求：球A 的速度大小．
三、机械能守恒定律的综合应用
7．如图所示，质量不计的轻杆一端安装在水平轴O上，杆的中央和另一端分别固定一个质量均为m 的小球A和B(可以当做质点)，杆长为l，将轻杆从静止开始释放，不计空气阻力．当轻杆通过竖直位置时，求：小球A、B的速度各是多少？
参考答案
课前预习练
1．正功 增加 减少 负功 减少 增加 相同
2．克服弹簧弹力 弹性势能 正功 弹性势能 动能
3．W ＝－(E p2－E p1) E k2－E k1 E p2＋E k2
4．重力或弹力 转化 守恒 E k2＋E p2 E p1－E p2
5．C [机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功，也就是物体可以受其他力作用，只要其他力不做功或做功之和为零即可，故A 、B 均错，C 正确．在炮弹爆炸过程中，爆炸时产生的化学能转化为机械能，机械能不守恒，D 错．]
6．C [初态时机械能为12
m v 20，由于只有重力做功，机械能守恒，物体在任意时刻机械能都是这么大，故C 正确．]
7．ABC [只有重力做功，机械能守恒，mgh ＋E k1＝E k2＝12
m v 2，A 、B 、C 对．] 课堂探究练
1．B [只有重力对物体做功指的是物体除受重力外，还可以受其他力作用，但其他力不做功，只有重力做功，故B 对，A 、C 、D 错．]
2．BCD [甲图中重力和弹力做功，物体A 和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A 机械能不守恒，A 错．乙图中物体B 除受重力外，还受支持力、拉力、摩擦力，但除重力之外的三个力做功的代数和为零，机械能守恒，B 对．丙图中绳子张力对A 做负功，对B 做正功，代数和为零，A 、B 组成的系统机械能守恒，C 对．丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D 对．]
点评 判断机械能是否守恒时，对单个物体就看是否只有重力(或弹力)做功，或者虽受其他力，但其他力不做功；对两个或几个物体组成的系统，就看是否只有重力或系统内弹力做功，若有其他外力或内力做功(如内部有摩擦等)且代数和不为零，则系统机械能不守恒．
3．BCD [物体抛出后运动的全过程机械能守恒，以地面为参考平面，物体的机械能表示为12m v 20
，也等于全过程中任意位置的机械能，D 正确；由动能定理知：mgh ＝12m v 2－12m v 20
，所以在海平面上的动能为mgh ＋12m v 20
，C 正确；重力做的功W G ＝mgh ，所以B 正确；到达海平面时的重力势能E p ＝－mgh ，A 错误．所以正确答案为B 、C 、D.]
点拨 明确物体抛出后运动的全过程机械能守恒，注意重力势能的相对性． 4.70 m/s
解析 由题意可知，过山车在运动过程中仅有重力做功，故其机械能守恒．以圆周轨道的最低点所在平面为零势能参考平面，由机械能守恒定律得
mgh A ＝mgh B ＋12
m v 2B v B ＝2g (h A －h B )
＝2×10×(7.2－3.7) m/s
＝70 m/s. 5.gL 2
解析 铁链在运动过程中，只有重力做功，机械能守恒．这里提供两种解法．
解法一 (利用E 2＝E 1求解)：设铁链单位长度的质量为ρ，且选取初始位置铁链的下端A 、B 所在的水平面为参考平面，则铁链初态的机械能为
E 1＝ρLg ·L 4＝14ρgL 2 末态的机械能为E 2＝12m v 2＝12
ρL v 2 根据机械能守恒定律有E 2＝E 1
即12ρL v 2＝14
ρgL 2 解得铁链刚脱离滑轮时的速度v ＝gL .
解法二 (利用ΔE k ＝－ΔE p 求解)：
如图所示，铁链刚离开滑轮时，相当于原来的BB ′部分移到了AA ′的位置．重力势能的减少量
－ΔE p ＝12ρLg ·L 2＝14
ρgL 2 动能的增加量ΔE k ＝12
ρL v 2 根据机械能守恒定律有
E k ＝－ΔE p ，即12ρL v 2＝14
ρgL 2 解得铁链刚脱离滑轮时的速度v ＝gL 2
. 方法总结 对于绳索、链条之类的物体，由于发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的，确定重心的位置，常是解决该类问题的关键．可以采用分段法求出每段的重力势能，然后求和即为整体的重力势能；也可采用等效法求出重力势能的改变量．利用ΔE k ＝－ΔE p 列方程时，不需要选取参考平面，且便于分析计算． 6.13
Rg (5π－8) 解析 由机械能守恒，有
5mg ·2R π4－4mgR ＝12
(4m ＋5m )v 2 解得v ＝13
Rg (5π－8). 方法总结 系统机械能守恒的表达式形式有三种：
(1)系统初态的机械能等于末态的机械能，即E A 初＋E B 初＝E A 末＋E B 末；(2)系统减少的重力势能等于增加的动能，即ΔE k 增＝ΔE p 减；(3)A 增加的机械能等于B 减少的机械能，即ΔE A 增＝ΔE B 减 .
7.35gl 2 35
gl 解析 对A 、B (包括轻杆)组成的系统，由机械能守恒定律
ΔE p 增＝ΔE k 减，得mg l 2＋mgl ＝12m v 2A ＋12
m v 2B ① 又因A 、B 两球的角速度ω相等，则v A ＝ωl 2
② v B ＝ωl ③
联立①②③式，代入数据解得v A ＝35gl ，v B ＝2 35
gl .。