【知识导图】教学过程一、导入1情境引入类比椭圆的标准方程及几何性质的探究方式上节回顾：平面上到两个定点的距离之和为一个常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆•思考：那么平面上到两个定点的距离之差为一个常数的点的轨迹是什么呢？设计意图：类比前面章节“椭圆的标准方程与几何意义”的教学过程，引入本节“双曲线的标准方程与几何意义”，有利于降低学习难度，使学生迅速理解双曲线的定义与元素。

强调两节知识的联系与区别，引导学生探究本节过程中对比两节2、步步深化类比椭圆的标准方程，写出双曲线的标准方程，并比较a、b、c的关系：设计意图：利用已知结论得到双曲线的标准方程及简单几何性质，更利于学生对新知的理解和记忆•二、知识讲解平面内到两定点％F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2 ）的动点的轨迹叫双曲线.即||MF i — MF?] =2a.【教学建议】注意差的绝对值为常数，如果只说差为常数，得到的轨迹是双曲线的一支•教师讲完定义后，可顺带引出实轴、虚轴、焦距的概念，对比椭圆记忆双曲线的量—2 2x y2 - 2=1(a 0,b 0)a b2 2y x\ - 2 = 1(a 0,b 0)a bx_a 或x_-a, y R x R, y - -a,或y - a 渐近线c2二a2b2(c a 0, c b 0)注意:对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A_a, 0，Aa,0 A 0, - a ，A0,a考点2双曲线的标准方程与几何性质标准方程离心率 e =c，e 1,,其中c=a准线2x*c线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长•线段AA2 =2a '线段B B叫做双曲线的虚B〔B 2 实虚轴轴，它的长B^二加；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系2 2 2(1) 区分双曲线中的a , b , c 大小关系与椭圆a , b , c 关系，在椭圆中a = b + c ,而在双曲 线中 c 2= a 2 + b 2.⑵双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e € (0,1).2 2 .22x y b y x(3)双曲线孑一4 1(a > 0, b > 0)的渐近线方程是y =±x , a 2 — b 2 = 1(a > 0, b > 0)的渐近线方 a程是y =苇x.求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法:(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ,b ,c 的c方程或不等式，利用b 2= c 2— a 2和e = a 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式 求得离心率的值或取值范围.(2) 求渐近线时，利用c 2= a 2+ b 2转化为关于a , b 的方程或不等式•双曲线渐近线的斜率与离心率的关系1.a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线，其中 e —. 2，渐近线.2•共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲2 2线•它们互为共轭•互为共轭双曲线的方程为：笃一爲 "(a ■ 0,b 0)和a b2 2 ■^2x y = 1(a 0, b 0) •a b1 1性质：①它们有相同的渐近线 ②它们的四个焦点共圆•③离心率满足 —= 1.e 〔 e ?类型一 双曲线的定义与标准方程2 2若k € R ，贝U k>3是方程 —-——=1表示双曲线的( )k —3 k+3b 叮c — ak=±；=VA .充分不必要条件 C .充要条件 【答案】 A2 2 2 2【解析】 若k>3，则方程 —y1，表示双曲线；若方程 — y1表示k-3k+3k-3k+3'k —3A 0 'k —3C 0双曲线，则丿或丿解得k>3或k< — 3•故选A.k 十3 > 0k +3 C 0!U【教学建议】引导学生思考本题左边为加号时的情形2 2【总结与反思】本题考查双曲线的定义， — 丄=1是双曲线的充要条件是 m 、n 异号.m n已知双曲线两个焦点的坐标为F , (-5,0), F 2 (5,0),双曲线上一点P 到F ,, F 2的距离之差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程•【解析】 由题意知，双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为2 2笃-告=1(a 0,b 0)a b2 2所求双曲线标准方程为x y1.169【总结与反思】此题考查双曲线定义，点到两定点的距离之差为定值的点可能为双曲线， 比较定点距离与距离之差的大小，写出标准方程.2 2已知双曲线 二生 =1(a 0,b 0)的一条渐近线平行于直线I : y = 2x +10,双曲线的一a 2b 2 个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为()2 2A.x -y=15202 2B.x -y=120 5 C .3x 225 1003x 2 3y 2’ D.110025b【解析】双曲线的渐近线方程为 y = ±x ,b因为一条渐近线与直线 y = 2x + 10平行，所以a = 2.B •必要不充分条件 D •既不充分也不必要条件又因为双曲线的一个焦点在直线y=2x+ 10 上，所以一2c+ 10= 0，所以c= 5.故由c2= a2+ b2,得25= a2+ 4a2,贝a2= 5, b2= 20,2 2从而双曲线方程为 乞一_L=i .520【答案】A【总结与反思】本题考查利用双曲线的几何性质求标准方程， 属简单题，明白渐近线与双曲线标准方程的关系即可作答•类型二 双曲线的几何性质a. 4 2【答案】 C【总结与反思】本题考查双曲线的离心率与标准方程的关系、双曲线渐近线•离心率与渐近线斜率都与a 、b 、c 之间的比值有关，所以求解时并不需求出 a 、b 、c 的值，只要知道关系 即可作答•已知F 为双曲线C ：X 2 — my 2= 3m(m>0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.；3 B . 3 C. , 3m D . 3m2 2x 2 2厂——2 【解析】由题意知，双曲线的标准方程为3m — 3 = 1，其中a = 3m , b = 3,故c =、J a + b = 3m + 3.不妨设F 为双曲线的右焦点，故 F 「3m + 3, 0) •其中一条渐近线的方程为 y = /m l衍•rn^i|x ,即x — ,my = 0，由点到直线的距离公式可得 d = ”+(_ , m )2=, 3，故选A.【答案】 A【总结与反思】 本题考查双曲线的简单几何性质， 考虑先将方程化为标准形式， 再把需要用的量用m 表示出来，得出距离公式，约去变量m ,得到距离..2 2已知双曲线E : a 2—活=1(a>0, b>0)，若矩形ABCD 的四个顶点在 E 上，AB , CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2AB|= 3|BC|,贝y E 的离心率是 ___________ . 【答案】2x 2 y 2亚已知双曲线C : a 2-1(a>0, b>0)的离心率为，则C 的渐近线方程为()D . y = ±1 y = Ex •故选 C .1A . y = ±jx 1B . y = ±3x1C . y = ±2x【解析】•--5_1 乂1 , ••• C 的渐近线方程为【解析】 如图所示，由题意得|BC|= |F I F 2|= 2 c. 又 2|AB = 3|BC|, 3••• |AF i |= 2C.在 Rt △ AF 1F 2 中, 5 3• 2a = |AF 2|— |AF I |= 2c — 2c = c. c e = a = 2.【总结与反思】本题考查离心率的求法，在几何背景下求离心率问题要考虑矩形的特点， 利用三角形求离心率类型三 直线与双曲线综合问题2V过双曲线X 2— 3 = 1的右焦点且与X 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A , B 两点,则 |AB|=()4」3A. 3 B . 2 .3 C . 6 D . 4 .32【解析】双曲线X 2 —卷=1的右焦点为F(2, 0)，其渐近线方程为,3x±y = 0. 不妨设 A(2, 2 3), B(2，— 2 _3)，所以 RB|= 4.3，故选 D. 【答案】D【总结与反思】本题考查双曲线渐近线与直线与双曲线综合应用，属简单题， 直接求出渐近线，带入焦点横坐标，求出两点纵坐标即可得出两点距离.已知双曲线的中心在原点，焦点 F i , F 2在坐标轴上，离心率为 .2,且过点(4, —. 10).(1)求双曲线方程；⑵ 若点M(3, m)在双曲线上，求证： MF 1MF 2= 0；(3) 求厶F 1MF 2的面积.【解析】(1) T e = 2, •设双曲线方程为X 2— y 2=入 又•••双曲线过(4，— •. 10)点,•入=16— 10= 6, •双曲线方程为X 2— y 2= 6.|AF 2| = r ： ； |AF 1 f +|F i F 2 f = 2=5C .⑵证明 法一 由⑴知a = b = 6, c = 2 3, •-F i （ - 2.3, 0）, F 2（2 .3, 0）,mm•kMF i=3 + 2 3, kMF 2 = 3_ 23,2 2 m m•- kMF i kMF 2 = 9— 12= — 3, 又点（3, m ）在双曲线上，•••m 2= 3,• - kMF i kMF 2 = — 1, MF 」MF 2, M ? 1 MI F 2 = 0.法二 •/ M |1 = （— 3— 2風—m ）, M F 2= （2羽—3,— m ）,• M F 1 MIF 2= （3 + 2 肩）（3 — 2护）+ m 2=— 3+ m 2.•/ M 在双曲线上， • 9— m 2= 6, •- m 2 = 3, •- M"F 1 MF 2= 0.⑶•••在△ F 1MF 2 中，|F 1F 2|= 4 ,3，且 |m|= 3,1 1• S A F 1MF 2= 2 IF 1F 2I | m|= 2^4 . 3 X. 3= 6.【教学建议】双曲线中的证明问题， 可以利用双曲线的性质将所要证明的结论用坐标关系表 示出来，即可证得结论•四、课堂运用其中一个交点为 P ,则|PF 2|=（1.下列双曲线中，渐近线方程为 y = ±2x 的是（）2y-=142m x 2“B .— y 2=1 C .2y-=122x 2 “D . — y 2=12.已知F 1, F 2是双曲线 x 2 的两个焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线相交,B . 4C . 2D . 13.已知双曲线 C : 2x 2 - a 2y b 2=1(a 0,b 0）的离心率 5e = 4，且其右焦点为F 2（5, 0），则双 曲线C 的方程为（)2 222A. Xy =1B • x -y=1 439 162222C. X .y =1f x D • - -y =1 16934222 2x yx y4.若实数k 满足0<k<9 , 则曲线25— 9 — =1与曲线25— k — 9 = 1的（）A •焦距相等B •实半轴长相等C .虚半轴长相等D •离心率相等2 2x V5. 设F 1 , F 2分别为双曲线 孑一b ^= 1（a>0, b>0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF 1| 9+ |PF 2|= 3b , |PF 1| • |PF 2|=4ab ,则该双曲线的离心率为 （）答案与解析1. 【答案】A2y_x 2- 2 = 0,得 y = 士.2x ；对于 D ，令 2 — y 2= o ,得 y = ±2x.故选 A . 2. 【答案】A【解析】由题意知 PF 2I —|PF i |= 2a ,由双曲线方程可以求出 |PF i |= 4, a = 1,所以|PF 2= 4 + 2 = 6.故选 A. 3. 【答案】C b ! 5+ a 2 = 4,又右焦点为 F2(5 ,e =0),2 2& y故双曲线C 的方程为16— 9 = 1.故选C. 4. 【答案】A【解析】••• 0<k<9, ••• 9— k>0, 25— k>0. 2 2 2 2x y x y• 25 — 9— k = 1与25 — k — 9 = 1均表示双曲线, 又 25+ (9 — k)= 34 — k = (25 — k) + 9 ,【解析】对于A ,2令 X 2-4得y = i2x ;对于2X B ，令4-y 2= 0，得 y =£x ；对于 c ,令【解析】由题意得 a + b = C ，所以 a = 16, b = 9,•••它们的焦距相等，故选 A.2 2 x y5•【答案】g -16= 1（x>3）•【解析】如图，△ ABC与内切圆的切点分别为G, E, F.AG|= |AE|= 8, |BF|= |BG|= 2, |CE|= |CF|,所以|CA|—|CB|= 8-2= 6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A, B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支,1（x>3）.2 2 2 21. 已知a>b>0，椭圆C i的方程为冷•占=1，双曲线C2的方程为冷= 1 , C i与C2a2b2a2b2的离心率之积为~2，则C2的渐近线方程为（）A . x± 2y= 0 B. 2x± y= 0 C. x±2y= 0 D. 2x± y= 02 2< y_2. 已知双曲线6—3= 1的焦点为F" F2,点M在双曲线上且MF」x轴，则F1到直线F?M的距离为（）3 ,6 5』6 6 5A~^B. 6 C.5 D. 62 2x yE：孑一b2= 1（a>0, b>0）上一点，M , N分别是双曲线E的左，右顶点,1直线PM , PN的斜率之积为5.求双曲线的离心率;答案与解析1. 【答案】A【解析】设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和良，则e1= a , e2= a .因为3 a —b3 b4 1 b _2e1 e2= 2，所以a^ = 2，即a = 4，二a= 2 .故C2的渐近线方程为x±. 2y= 0.2. 【答案】C_6M( —3, 2 ).2 2x y 方程为9—16= 3•已知点P（x o, y°）（x o M±）是双曲线【解析】如图所示，由x y6 —3 = 1知,F1(—3,0), F2(3,0).设M( —3, y o),则y o= ±2，取直线MF2 的方程为 2 x+ 6y— 2 = 0，即x+ 2.6y—3= 0.线AB 的方程为答案与解析1.【答案】B【解析】(1)：飞=2, •可设双曲线方程为 x 2— y 2 = •••过点(4,—屮0), •16— 10=入即 X= 6.•双曲线方程为x 2 — y 2 = 6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中 a = b = 6,• c = 2.3, •- F 1(— 2 .3, 0)、F 2(2 3, 0),..kMF1= 3 + 2：3，kMF 2= 3 —3，2 2m mkMF 1 kMF 2= 9— 12=一 3，•••点(3, m)在双曲线上，• 9 — m 2= 6, m 2= 3, 故 kMF 1 kMF 2=— 1, • MF 1 X MF 2. •- M F 1 M F 2= 0. 2. 【答案】B|一 3 — 3| 6•••点F i 到直线MF 2的距离为d = -1 * 24= 5.姮3.【答案】T2 2x V【解析】由点P(x o , y o )(x o M±)在双曲线a 2— b 2= 1上， =2yb -20 X- a宀， y ° y o 1 22由题意有x o — a*+ a = 5，可得a = 5b ,c 2= a 2 + b 2= 6b 2,1.已知双曲线的中心在原点， 焦点F 1、F 2在坐标轴上, 离心率为 2, 且过点(4, — .10).点M(3, m)在双曲线上.(1)求此双曲线方程; ⑵求证：M F 1 M F 2= 0.2.如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点, M , N 是双曲线的两顶点，若M , O ,N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是B . 2C. .33.过点P(8,1)的直线与双曲线 x 2— 4y 2= 4相交于A 、D . B 两点, ) 2且P 是线段AB 的中点，则直ca2a a e i 2轴长为7=2,所以离心率的比值e2=c=2.a3.【答案】2x-y—15= 0【解析】设A、B坐标分别为(x i, y i)、(x2, y2),则x2—4y? = 4 ①x2- 4y2=4②①一②得(X i + X2)(x i —X2)—4(y i + y2)(y i —丫2)= 0.T P是线段AB的中点，x i + X2= i6, y i + y2= 2,y i—y2 X i + x2…x i —X2= y i + y2 = 2.•••直线AB的斜率为2,•••直线AB的方程为2x—y—i5 = 0.本节主要讲了三部分：双曲线的定义与标准方程、双曲线的几何性质、双曲线综合应用•双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF i—|PF2||= 2a（其中0v 2a v |F i F2|）与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题；双曲线的标准方程与几何性质的考查比较频繁，主要是对离心率、渐近线与标准方程之间的「 2 2关系进行考查•其中e= —, e i, c= a2亠b2，渐近线方程可以将斗-—=i中a a2b2的i化成0求直线方程，避免忽略焦点在y轴的情形；双曲线综合应用中主要是双曲线与直线、双曲线与椭圆的综合应用，主要以大题形式考查.常用联立方程或者点差法转化条件，做题时应注意总结做法.2 2X，若顶点到渐近线的距i.已知双曲线= i（a 0,b 0）的渐近线方程为a b离为3，则双曲线的方程为（）第ii页2x 3y 2彳2x2y 2x2y 3x 22y A.1B. 1C.1 D.14412 4412442 2x y_2.设双曲线a 2— 9 = 1（a>0）的渐近线方程为3xi2y = 0，则a 的值为（ ）A . 4B . 3C . 2D . 12 23.已知双曲线 爲-彳 1过点2,-1，则双曲线的离心率为（）a 4A. .2B. 2C. 3D. 42 2x _y_4. 若双曲线E : ~9 — 16= 1的左、右焦点分别为 F i , F 2,点P 在双曲线E 上，且|PF i |= 3,则 |PF 2| 等于（） A . 11 B . 9 C . 5D . 3答案与解析 1. 【答案】B【解析】渐近线方程化简为x_、3y=0,顶点坐标 a,0，顶点到渐近线的距离为2y 1.选 B . 42.【答案】C【解析】渐近线方程可化为 y =±x.T 双曲线的焦点在x 轴上,3. 【答案】C【解析】由题意可得:4. 【答案】B【解析】由题意知 a = 3, b = 4,「. c = 5.由双曲线的定义有||PF 1—|PF 2||= |3—|PF 2||= 2a = 6, •-|PF 2| = 9.解得a = 2-、3，根据渐近线方程的斜率 - a于，可得心,所以双曲线的方程为X 212 翌.由题意知a>0,••• a = 2.故选C.据此有 a = 1 ,b 22=4,c 2 =a 2 b 2，则，解得a = a巩固2 21.“a _2”是 直线I :2ax -y 2a 2 =0 ( a ■ 0)与双曲线C :笃1的右支无交点a 4的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 C的离心率为2，焦点为F i, F 2,点A 在C 上.右|F 识|= 2|F 2A|,则cos / AF 2F 11B. 12 2C :予一b 2= 1(a>0, b>0)，若存在过右焦点 F 的直线与双曲线 C 相交于A , B两点且AF = 3BF ，则双曲线离心率的最小值为 ( )A. ,2B. 3C . 2D . 2 2答案与解析 1. 【答案】A【解析】因为直线I 过双曲线C 的左顶点且双曲线 C 的右支无交点，所以直线I 的斜率不小22于双曲线C 的渐近线y x 的斜率，即2a _ ，又a 0，所以a _ 1，故选A.a a2. 【答案】AJF 1AI - |F 2A|= 2a ,【解析】由题意得|F 1A|= 2|F 2A|, 解得 |F 2A|= 2a , |F 1A|= 4a ,c又由已知可得2= 2,所以c = 2a ，即|F 1F 2|= 4a , |F 2A f + IF 1F 2I 2— IF 1AI 2 4a 2 + 16a 2— 16a 2 1 所以 cos / AF2F 1=2 |F 2A| |F 1F 2| = 2>2aX4a = 4•故选 A.3. 【答案】C2.已知双曲线1 A] 3.已知双曲线【解析】因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于A , B 两点且AF = 3BF ，故直线与双曲线相 设 A(x i , y i ), B(x 2, y 2)，右焦点 F(c , 0)(c>0)，因为 AF = 3BF ，所以 c — x i = 3(c — x), 3x 2 —cx i = 2c ,由图可知，X iJ a , x 2^a ，所以一x i^a , 3x 2>3，故 3x 2 — x i >4，即 2c 》4, a 》2 即e >2故选C.1•已知A , B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为120 ° 则E 的离心率为( )C.3 D. ,22 22. 已知双曲线7 — b "= 1(b >0),2 23.过双曲线2 7(9 0,b 0)的左焦点向圆宀作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐进线截得的线段长为 辰，则该双曲线的离心率为 _______________答案与解析 1.【答案】D2 2【解析】设双曲线方程为 孑一活=1(a > 0, b > 0), 不妨设 M 在第一象限，|AB|=|BM|= 2a , / ABM = 120°.N ,易得 |BM|= 2a , |MN|= 3a ，贝U M(2a , 3a).【解析】如图，b双曲线渐近线方程 OB : y = 2x. 、 「 b 、 1b 2b设 B X 0, 2X 0，贝V 2 X 0 2x 0= 8 ,交只能如图所示的情况，即 A 点在双曲线的左支, B 点在双曲线的右支,A.以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的 两条渐近线相交于 A , B , C A. 4 — 4 = 1 2 2x y_ C. 4 — 4 = 1D 四点，四边形ABCD 的面积为 x 2 4y ! B.4 — 3 = 1 2 2x y_D. 4 — 12 = 12b ,则双曲线的方程为( )如图，过M 作x 轴垂线，垂足为 2 24a 3a-~2 ~2 — A•- a — b —2.【答案】DX o=1 ,••• 12+ b2=22,• b2= 12.2 2x y•••双曲线的方程为4—12=1.3.【答案】a【解析】不妨设圆的切线过焦点F1 -c,0，借助图形可得其斜率k ，方程为by = a x c与渐近线y = b X联立可解得交点横坐标为X1b a2a cr~2 2b - a；方程为ay x c与渐近线by=-—x联立可解得交点横坐标为a% -x22a2bb2- a2c则由题设：x r 二3a也即-2'j2-a2c-_2a b bb2='、3b，所以4 e2-1 =3 e2-2 ［即4 2 2 23e -16e *16=0，解之得e =4或e所以e = 2或e二生3，应填答案。