双曲线的简单几何性质
一、教材分析
教材的地位和作用
本节课是在学习了“椭圆的几何性质和双曲线的定义、方程”后进行的，课程标准要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质.与已学的椭圆和后续的抛物线比较，本节课的要求相对较低。
但是本节课渗透的思想方法是相当重要的。一方面，本节课是利用双曲线的方程研究其几何性质。这是解析几何研究的两个主要问题之一，通过本节课的学习有利于进一步深化坐标法和数形结合的思想；另一方面，通过类比椭圆学习双曲线的几何性质，有利于培养学生科学的思维方法。
板书设计
标准方程例1
范围几何图示区
对称性例2
顶点
渐近线
离心率
双曲线的实轴： ，长为 ,半实轴长
双曲线的虚轴: ，长为 ，半虚轴长
提问：与椭圆比较，为什么 不叫双曲线的顶点？椭圆的短轴与虚轴有什么不同？
4、渐近线：
提问（1）反比例函数 与正切函数 的图像都有什么共同的显著特点？你对双曲线的图像有什么发现？
《几何画板》验证
（2）渐近线方程如何求解？利用特征三角形；换“1”为“0”
引导学生发现离心率对双曲线“张口”大小的影响，通过多媒体进一步增强学生的这种认识。
回顾总结，进一步加强认识，使知识系统化。
例题研究运用性质
例1、求双曲线 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近方程。
例2、求符合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)顶点在 轴上，两顶点间的距离是8，
(2)焦点在 轴上，焦距是16，
5、离心率：
提问：（1）双曲线的离心率范围？
（2）椭圆的离心率刻画了椭圆图形的什么几何特性，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性？（适当点拨学生发现 ， 的联系）
《几何画板》演示
请总结两种标准方程的双曲线的几何性质，并填表
图形
标准方程
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率
请比较双曲线与椭圆的几何性质的异同
问题（5）揭示了渐近线对画双曲线草图的重要作用。
3、思维方法：类比推理
培养学生的象概括能力，使所学知识、方法在学生的认知结构中内化升华。
作业布置巩固提高
1、必做题
课本A组：3题、4题；B组：1题。
2、选做题
求与双曲线 有共同渐近线且实轴长为8的双曲线的标准方程。
作业是学生学习信息的反馈，必做题能巩固本节所学知识，发现和弥补教学中的不足；选做题能让学有余力的学生有进一步发挥的空间。
渐近线是双曲线的特有性质，也是教学的难点，但课程标准要求相对较低，不要求严格证明，为了突破难点，可从通过问题（1）引导学生从已有认知水平出发，来发现双曲线的渐近线，然后充分利用多媒体展示，帮助学生进一步直观理解渐近线“渐近”的含义
（4）等轴双曲线： ，其渐近
线方程：
（5）类比椭圆草图画法，思考双曲线草图的画法？
教学目标
知识与技能目标
理解双曲线的几何性质并会简单应用。
过程与方法目标
进一步理解坐标法和数形结合的思想。
情感态度与价值观目标
培养学生科学的思维方法和思维习惯。
教学重点难点
教学重点
双曲线的简单几何性质。
教学难点
双曲线的渐近线。
二、教法学法
教法
采用问题式教学，通过问题引导学生类比探究、交流归纳、总结提升，并充分利用多媒体辅助教学。
学法
通过教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和内化。
三、教学程序
教学环节
教学程序设计
设计意图
复习旧知设疑引路
1、复习
（1）双曲线的定义和标准方程？
（2）椭圆有哪些简单几何性质？
2、引入
类比椭圆的简单几何性质，猜想双曲线有哪些简单几何性质？
唤起旧知识的记忆，为后续类比探究做好知识准备。
设问激疑，为学生探究新知引路。
类比探究研究性质
以方程 为例研究双曲线的简单几何性质
1、范围： ，
提问：（1）看图可知其范围是什么？
（2）类比椭圆如何研究其范围？
2、对称性：对称轴为 轴，对称中心为坐标原点
提问：（1）看图可知其有怎样的对称性？
（2）类比椭圆如何研究其对称性？
3、顶点：双曲线与对称轴的交点顶点坐标
通过由方程求性质和性质求方程的例习题，来反馈学生对双曲线性质的掌握程度和简单应用的能力。
小结归纳拓展深化
引导学生自主总结：
1、知识技能：
（1）学习了双曲线的范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义；
（2）渐近线是双曲线特有的性质，必须引起我们的重视；
2、数学思想方法：
数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。
（3）求出焦点在 轴的双曲线渐近线方程并比较焦点位置不同的双曲线渐近线异同？
引导学生用类比的思维方法和数形结合的数学方法，先直观感知双曲线的范围、对称性和顶点，然后利用方程进行严格推理证明，这有助于进一步让学生理解坐标法，进一步认识数与形的辩证统一。
类比推理是抓住了椭圆与双曲线的相似之处，而对于不同之处自然会受到负面理解，为了理解双曲线的虚轴端点、虚轴与椭圆短轴端点（顶点）、短轴的不同，设置这两个问题引导学生理解，防止知识的负迁移。