离散型随机变量的
苴日也
教学要求：
使学生了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望.
对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律。
在实际问题中，我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差。
引例:
某射手射击所得环数E的分布列如下:
根据这个射手射击所得环数E的分布列，在n次射击中，预计有大约
0.02n次的4环..
类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数E的分布列，即已知各个P
(^i)(i=O,1,2,3,...10),则可预计他任意n次射击的平均环数是
Eg二XP ( §二0) + 1 XP ( 5=1)+.. + XP ( ^=10)
称Eg为此射手射击所得环数g的期望，它刻划了随机变量g所取的平均值，从一个方面反映了射手的射击水平。
1、期望
若离散型随机变量E的概率分布为
则称Eg二XP+X2P尹…+XnPn+…为§的数学期望或平均数、均值，又称期望。
问：若E为上述离散型随机变量，贝怕二ag+b的分布列怎样？Er］呢?
因为P ( r]=a Xj+b) =P ( g二片),i=1, 2, 3...
所以，n的分布图为
于是E r|= (ax〔+b)Pi+ (a x2+b)p2+...+ (a x n+b)p n+ ...
=a ( x1 p1+ x2p2+ ---+ x n p n+ ...) +b(P1+P2+…+p门+…)
=a E g+b
2、例题
例1篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0
分。
已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分g的期望。
例2随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数§的期望。
例3有一批数量很大的产品，其次品率是15%。
对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽岀次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次。
求抽查次数E 的期望。
（结果保留三个有效数字）
解：抽查次数E取1~10的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检验的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15,取出正品的概率是0.85,前次取出正品而第k 次（k=1, 2, ...9）取出次品的概率
P （£二k） =g（k,0.15）=0.85k-1X0.15, （k=1, 2, ...9）；
需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率
P（5=10） =0.859（为什么？）
3、鞋论⑴:若LB(n, p), |jjE&np
证明：・・・P(E二k)二C/pkqn-k (・.・ k CnQnCmL)
・・・E £ =0 X C n°p°q n+ 1 XC n1p1q n-1+ 2 X C n2p2q n-2 +
…+ kxc n k p k q n-k+.. + n x C n n p n q°
=np(C n.1°p°q n-1 + C m11p1q n-2+ ... +
% kJ pk・1 q(n-1 )-(k-1)+...+ % n'1 q°)
=n p(p+q)nJ= np
服从二项分布的随机变量的期望
若E~B(n,p),贝!|E^=np
例4 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项。
其中有且仅有一个是正确答案，每题选择正确答案得5分。
不作出选择或选错不得分，满分100分。
学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。
求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
犁5: —次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有厂个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分满分100分。
学生甲选对任一题的聶當劳鳥＞学生乙则在测验中对每题都从4个选项T随机地选择一个。
求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望O
解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是E 和耳,则
七〜B(205 0.9)，
耳〜B(20，0.25),
EE = 20X 0.9 = 18，E“ = 20X0.25 = 5.
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是％和刿。
所以，他们在测验中的成绩的期望分别是
E(5® = 5EE = 5X18 = 90，
E(5耳)=5E Y)=5X 5 = 25 ・
服从几何分布的随机变量的期望结论⑵:若p(^=k)=g(k, p),则E的/p
p 1 2
p pq
3 ...
pq2 ...
k
pqk-i
• • •
■ ■■
)1严T
・・・E g =p+2pq+3pq2+...+kpq k1+... qE § =pq+2pq2+3pq3+.._+kpq k+...
••・(1・q)E §
=p+pq+pq2+pq3+...+pq k+...
例5在独立重复的射击试验中，某人击中目标的概率为0.2，则他在射击时击中目标所需要的射击次数g 的期望是多少？
小结：1、随机变量的数学期望。
、若§〜
练习：P14 1-6o
作业：习题1.2 P16 1-6
补充：二点分布
（贝努里分布）一次试验中，某事件发生的概率为p, n是一次试验中此事件发生的次数问题：r］二？答案：r］二0 or 1
令q=1・p,则P(n=0)=p, P(n=1)=q,
••・Er］ = 0Xq + 1 Xp=p
由此可知，在一次试验中此事件平均发生p次
我们把上述分布称贝努里分布又称二点分布
讲评作业:P9习题3, 6
3、某射手射击击中目标的概率为0.9,求从开始射击到击中目标所需的射击次数E的概率分布。
解：身寸击次数E的概率分布为
6、某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件，求其中次品数E的分布列。
解：E〜B (5, 0.1U的分布列为。