0
1
1
1
−1
1
1 −1 1
������1 = (1) ������2 = (−2)求得������3 = (0) P = (1 −2 0)
0
1
0
010
1 ������−1������������ = ( 1 1 )
1
2. ������������ (������) = (������ − 1)2 ������5 − 2������4 + 3������3 − 4������2 + 3������ + 1 = (������3 + 2������)(������ − 1)2 + ������ + 1
解：，
A


1
2
3



0
1
1

1 0 1 0 0 0

2
4
6


0
0
0

2 0
B


1 1

2
2 0 4

，
C


1 0
0 1
1 1
������+ = ������������(������������������)−1(������������������)−1������������ =
1
0
0
2.(0) 0
,
1 √2
(1) 0
,
1 √3
(0) 1
20 3.(1) , (0)
01
四、已知矩阵
2 −1 −1 ������ = ( 2 −1 −2)
−1 1 2
1.求������的 Jordan 标准型及可逆矩阵������，使得������−1������������ = ������； 2.求������的最小多项式，并求������5 − 2������4 + 3������3 − 4������2 + 3������ + ������。(18 分)
1 −1 0
123 2．（a）已知矩阵������ = (2 2 3)，在������3中定义线性变换������(������) = ������������，������ ∈ ������3，
323 则������������������(������������������) = 2
3. 已 知 矩 阵 A 的 初 等 因 子 为 (������ − 1), (������ − 1)2, (������ + 2)2, (������ + 2)4 ， 则 A 的 最 小 多 项 式
证明：1. (������, ������)������������
(������ + ������, ������) = (������, ������) + (������, ������) (������������, ������) = ������(������, ������)
(������, ������) = ������12 + 2������22 + 3������32 ≥ 0，仅当α = 0时，(������, ������) = 0
‖������‖������ + ‖������‖������ （4）‖������������‖������ = ‖������−1������������������‖������ = ‖������−1������������������−1������������‖������ ≤ ‖������−1������������‖������‖������−1������������‖������ = ‖������‖������‖������‖������
110 2.T(1 ������ ������2) = (1 ������ ������2) (0 1 1)
121
������0 + ������1 = 0
1
3.{ ������1 + ������2 = 0 通解c (−1)，������的核子空间ker(������)的一个基1 − ������ + ������2
������������(������) =_(������ − 1)2(������ + 2)4__
−2 1 0 4. 已知矩阵������ = ( 1 −2 0 ) ，则范数‖������‖������ = √20
3 0 −1
11
5.
已知矩阵������
=
(
5 7
22)，则������ + ������2 + ⋯ ⋯=
(3)
‖������ + ������‖������ = ‖������−1(������ + ������)������‖������ = ‖������−1������������ + ������−1������������‖������ ≤ ‖������−1������������‖������ + ‖������−1������������‖������ =
������ − 2 1
1
解，1. f(������) = |������������ − ������| = | −2 ������ + 1 2 | = (������ − 1)3 = 0,特征值������1,2,3 = 1
1 −1 ������ − 2
1
1
1
(������ − ������)������ = 0之基础解系为������1 = (1) , ������2́ = (0),P−1������������ = ( 1 1 ) , P = (������1 ������2, ������3)
2������2������2 + 3������3������3，证明， 1．(������, ������)为������3的一个内积； 2.求一个与基(1 0 0)������, (1 1 0)������, (1 1 1)������等价的标准正交基； 3.设������ = ������������������������{(1 − 1 0)������}，试求������⊥的一个基。(15 分)
= ������(������(������) + ������(������)) ������(������������(������)) = (������(������0 + ������1) + (������1 + ������2)������ + (������0 + 2������1 + ������2)������2) = ������������(������)
10 13
(67
58)
10 5
二、（a）在多项式空间������3(������) = {次数小于 3 的 ������ 的多项式}，若������(������) = ������0 + ������1������ + ������2������2 ∈
������3(������)，定义������(������(������)) = (������0 + ������1) + (������1 + ������2)������ + (������0 + 2������1 + ������2)������2; 1.证明������是������3(������)上的线性变换， 2.求������在基1, ������, ������2下的矩阵， 3.求������的核子空间ker(������)的一个基。(15 分) 证明：1. ������(������) = ������0 + ������1������ + ������2������2 ∈ ������3 ������(������) = ������0 + ������1������ + ������2������2 ∈ ������3
3 −1 −1 ������5 − 2������4 + 3������3 − 4������2 + 3������ + ������ = ������ + ������ = ( 2 0 −2)
−1 1 3
五、设‖∙‖������ 是������������×������ 上的矩阵范数，������ 是一个可逆矩阵，对任意������ ∈ ������������×������ ，定义‖������‖������ = ‖������−1������������‖������，求证‖������‖������是������������×������上的一种矩阵范数。(10 分) 证明：（1）当A = 0时，‖������‖������ = 0，当A ≠ 0时，������−1������������ ≠ 0，故‖������‖������ = ‖������−1������������‖������ > 0；
1 1 −1
−1 ������1 −1) (������2) 1 ������3
1
范数最小最小二乘解������+b
=
1 10
(2) 3
−1 −2 6 七、已知矩阵A = (−1 0 3)
−1 −1 4
1.求������ ������������ 及������ ������ 2.求下列初值问题的解
10 1 5 2
=
1 30

8 2
2 1
4 1
4

2
1
2 −1 1