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08级-研-矩阵论试题与答案

中国矿
业大学
08级硕士研究生课程考试试卷
考试科目
2008年12月研究生姓名
中国矿业大学研究生培养管理科印制
(15分)计算
已知A可逆,求;e At dt (用矩阵A或其逆矩阵表示);
设a (a i,a2,a3,a4)T是给定的常向量, X (X j)2 4是矩阵变量,求畔■
设3阶方阵A的特征多项式为(6),且A可对角化,求lim
k
k A
--- O (A)
(2)
二( 15分)设微分方程组
dx
Ax
dT
,X o
x(0) X
o
(1)求A的最小多项式m A(); (3)求e At (3)求该方程组的解。

三(15 分)对下面矛盾方程组Ax b
(1)求A的满秩分解A FG ; 2)由满秩分解计算A ;x3
x1
x1
x2 x3 1
x2 1
3)求该方程组的最小2-范数最小二乘解x LS 。

四(10分)设
求矩阵A的QR分解(要求R的对角元全为正数,方法不限)。

五(10分)设A T(0 R n,n 2)
(1)证明A的最小多项式是m()2 tr(A);
(2)求A的Jordan形(需要讨论)。

六(10分)设A R mn
(1)证明rank(I n A A) n
(2) Ax 0的通解是x(I n A A)y, R n。

七( 10分)证明矩阵
(1)能与对角矩阵相似;
2
3
3
4
M
(n 1)2
特征值全为实数。

1
2
2
3
(n 1)3
1

2
3

M
2n
八(15分)设A是可逆矩阵, ,||B A (这里矩阵范数都是算子范
数)
如果,证明
(1)B是可逆矩阵;(2)B 1A1
(15分)计算(2)
(2)参考答案
已知A可逆,求;e At dt(用矩阵A或其逆矩阵表示);
a (a1,a2,a3,a4)T是给定的常向量,X (X ij )2 4是矩阵变量,求d(X a ;
dX
3阶方阵A的特征多项式为0e At dt A12( 6),且A可对角化,求lim
k
A
--- o
(A)
, .At
1de dt 0dt A1(e A I)
d(X
dX
)T
A的特征根为
k lim亠
k (A) x1j a j
,(X
X2j a j
(X )T
X11
(X )T
X21
)T
(X
x ij a j X2j a j 得
)T(X (X )T
X12
(X )T
X13
(X )T
X14
(X )T
X22 X24 a1
0 a1
a2
0 a2
a3
0 a3
a4
0 a4
Clim
6, (A) 6.由于A可对角化,即存在可逆矩阵C ,使,从而
A
(A)
C 1.故
C1 1A.
二( 15分)设微分方程组
dx
dT
Ax
,X o
x(0) X
o
求A的最小多项式m A (); (3)求e At (3)求该方程组的解。

3
1) , m A() 1)2;
4t 8t r() e t(t 1 t),At
e r(A) 3t 6t
2t 4t
x(t) At
e X0
1
e t 1
12
t 9t
三( 15 分) (2)
6t 对下面矛盾方程组Ax
求A的满秩分解A FG ; 由满秩分解计算A ;
求该方程组的最小X3 X
1 X
1
2-范数最小二乘解
1
1
1
X2
X2
X
3
1
X LS。

FG (不唯一)
1 1
2
4 2
2
1 2
(2) A (3)X LS
四(10分)
A 72 1 1 1 3 求矩阵A 的QR 分解 (要求R 的对角元全为正数,方法不限)
五(10分)设A
T (0 证明A 的最小多项式是m (
(2) 求A 的Jordan 形(需要讨论) 易知 rank( A) 1 , tr( A)
m(A) A 2 又对任意的一次多项式 g () 当c 0时,A O ,矛盾。

当 (2)由 m( ) ( tr( A)) 2) tr(A) tr(A)A ( c , g(A) A )A )A O cI O o 反证,如果A cl 0 c 0 时,ran k( A) rank( cl ) n 2,矛盾。

0根知,A 的特征值只能是0或tr ( A ) T
当tr( A) 0 时,m( ) 无重根, A 可对角化,再由rank( A) 1知
A~J
当tr( A) 0时,A的特征值全是0


0 0 对应的特征向量只有
n rank( 0I A) n 1的线性无关
的,
从而
A~J
01
六(10分)设A R r m n
证明rank( I n A A) r;
所以
Ax
I n
0的通解是x(I n R n。

rank( I n A A) r。

由A(I n A A) AA A
其中又有n r
U
T
U
I r
O
V T I n
I r
O
V T
V T
O
I O nr V
知I n A的列都是Ax 0 的解,个线性无关的,故其线性组合(I n A A)y, y R n就是Ax 0通解。

七(10分)证明矩阵
(1)能与对角矩阵相似;
2
3
3
4
M
n
(n 1)2特征值全为实数。

证:(1)R k 1 k
1 (k 1)i
G k互不交,说明
1
2
2
3
n
(n 1)3 A有n个不同的特征值,从而可对角化。

(2)G k关于实轴对称,如果A有复特征值必成对共轭出现,而
为实
数。

八(15分)设A是可逆矩阵, ,||B A
如果,证明
(1)B是可逆矩阵; (2) I B 1
证(方法一)
(1)1 x
1
1

2
3

M
2n
G k中只有一个特征值,所以必
(这里矩阵范数都是算子范
数)
A1
(A B)x|| |B X|| -||x||-||Bx|
II x |BX (*)
因此,x 0 Bx 0,说明B可逆。

(2)由式(* ),取x
B 1y BB 1y y||1y -y|由算子范数的定义得
(3)I B1 A1!||B1(A B)A 1||B1II A
(方法
二)
引理:设A C n n,若A A可逆, 并有(I A)1|1 H A
(1) 11 A 1B A 1(B A) 1|B A|(**)
由引理知,A 1B I (I
1 1
(2) B I (I A B) A1
B1! l A1
(3)同
上。

l|l (I
A 1B)可逆,从而B可逆。

1B) 1。

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