又∵ sin Rh 又
R
N N
NB=0时为球 离开地面
F ( R h) P h(2 R h )
P N sin
F R R h h(2R h) R
P h(2R h) F R h
P h(2R h) F 当 时球方能离开地面 R h
求：在P的作用下AC、BC所受力的大小。 ①选铰链C为研究对象 ②取分离体画受力图 ③列平衡方程
B C
X 0 FAC cos 45 FBC cos 45 0 Y 0 P FAC sin 45 FBC sin 45 0
④解平衡方程 由上一式得：
16
[例4] 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h
解：研究块,受力如图，
解力三角形： 又：
N F cos
R2 (R h)2 1 cos h(2R h) R R
F R N h ( 2 R h)
17
再研究球，受力如图：
作力三角形
解力三角形：
∵ PNsin
11
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在坐标轴上的投影
X=Fx=F· ： cos
Y=Fy=F· =F · sin cos
F Fx Fy
2
2
X Fx cos F F
Y Fy cos F F
12
二、合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
A 30° 30° C B
滑轮由两端铰接的水平刚杆AB
和斜刚杆BC支持于点B 。如两
杆与滑轮的自重不计并忽略摩
擦和滑轮的大小， 试求杆AB和 P
a
BC所受的力。
15
静力学
例题 3
y
平面汇交力系与平面力偶系
解：
1.取滑轮 B 轴销作为研究对象。
FBC
2.画出受力图。 3.列出平衡方程：
x
B
30°
30

P C
不计并忽略摩擦和滑轮的大小， 试求平衡时杆AB和BC所受的力。
27
静力学
平面汇交力系与平面力偶系
解：
A
60
取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的 大小，画受力图。 列写平衡方程
D
B
Fx 0,
30

FAB F1 cos 60 F2 cos 30 0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
29
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压
18
静力学
例题 5
平面汇交力系与平面力偶系
梯长AB =l ，重P =100 N，重心假设在中点C，梯子的上
端A靠在光滑的端上，下端B放置在与水平面成40°角的光滑
斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以 及梯子和水平面的夹角θ。
A
C
θ
B
40°
P
19
静力学
平面汇交力系与平面力偶系
解：
梯子受三力平衡，由三力汇交定 1.求约束力。
力。
30
静力学
例题 0
平面汇交力系与平面力偶系
F2
y
求如图所示平面共点力系的合力。
其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 =
100 N，F4 = 250 N。
60
F1
O
45
30
解： 根据合力投影定理，得合力在轴
x，y上的投影分别为：
45
x F4
F3
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129.3 N
即：
Rx X 1 X 2 X 4 X
R y Y1 Y2 Y3 Y4 Y
Rx X
R y Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
13
合力的大小：
Ry 方向： tg Rx
作用点：
∴
tg 1
Ry Y 1 tg Rx X
2.画出受力图。
60º
3.作出相应的力三角形。
30º
4.由力多边形解出： FA = F cos30=17.3 kN
FB = F sin30=10 kN
9
60º
30º
[例2] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。
求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
2
第二、三章
平面特殊力系
§2–1 平面汇交力系合成和平衡的几何法
§2–2 平面汇交力系合成和平衡的解析法
§3–1 力矩 、力偶的概念及其性质
§3–2 平面力偶系的合成与平衡
§3–3 平面平行力系的合成与平衡
3
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法 1.两个共点力的合成
2. 任意个共点力的合成
θ B
kN,

=25o ， AD=a=2m,
AB=l=2.5m。如吊车梁的自重
P
可略去不计，求钢索BC和铰 Leabharlann 的约束力。22静力学
平面汇交力系与平面力偶系
解：
选择吊车梁为研究对象，在吊车梁 上总共有三个不平行的力作用，根据三 不平行力的平衡条件，可以肯定铰A的
C
约束力FA必通过力P与FB 的交点O。
1
引 言
力系分为：平面力系、空间力系
①平面汇交力系 平面力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系)
平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平 行力系。
平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
由力的平行四边形法则作， 也可用力的三角形来作。 由余弦定理：
R F1 F2 2 F1 F2 cos
2 2
为力多边形
R 1 合力方向由正弦定理： s in s in(180 )
F
4
力三角形规则
F F1 F2 F2 F1
力多边形规则
5
FR1 F1 F2
R F
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过各力的汇交点。 二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：
R F 0
在上面几何法求力系的合力中，合力为 零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交 力系平衡的必要与充分的几何条件是： 或 力系中各力的矢量和等于零
Fy 0,
P
y
C
显然，F1=F2=P 解方程得杆AB和BC所受的力:
FBC
FAB
F2
B
60
30

FBA 0.366 P 7.321 kN
x
F1
FBC 1.366 P 27.32 kN
28
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
20
静力学
平面汇交力系与平面力偶系
2.求角θ。
y
角θ可由三力汇交的几何关系求出。
D

40°
FA
A
x
由直角三角形BEC和BED，有
EC EB t an
B
C E

ED EB t an
FB
P
40°
已知C是AB中点，DE是平行四边形ADBE的对角线，所以 C也是DE的中点。
l
A D
B FA A
a
φ
O F B
θ
D P
B
P
23
静力学
平面汇交力系与平面力偶系
把三个力移到点O，作直角坐
标系，如图 a 所示。列平衡方程：
y
F F
x
0, 0,
FA cos FB cos 0 P FA sin FB sin 0
FB
y

O
P
FA
φ
x
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
X 0
T2cos T 0 ① 1
②
Y 0T2 sin Q N D 0
由①得
cos T P 1 1 T2 2P 2
600
0
由②得
ND Q-T2sin Q-2Psin 60 Q 3P
25
[例8] 已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。
解： ①选碾子为研究对象
②取分离体画受力图 ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。
NB P cos r 2 (r h) 2 又由几何关系：tg 0.577 r h
F Ptg
10
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
式中角φ可由图 b 中的几何关系求得 OD BD tan θ (l a ) tan φ tan θ AD AD a
（a）
l a
tan = 0.117
解联立方程求得
A
FA
O F B