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《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（1）（答案）
一、单项选择题
1、设xy
e y z 2
=，则=)1,1(dz 答（ A ） （A ）)3(dy dx e + （B ）)3(dy dx e -
（C ）)2(dy dx e + （D ）)2(dy dx e - 解 （知识点：全微分的概念、全微分的计算方法）
因为 32 , 2xy xy xy x y z y e z ye xy e ==+，得 (1,1) , (1,1)3x y z e z e ==， 所以 (1,1)(1,1)(1,1)3(3)x y dz z dx z dy edx edy e dx dy =+=+=+
2、设方程0yz z 3y 2x 22
2
2
=-++确定了函数z=z （x ，y ），则
=∂∂x
z
答（ B ） （A ）
y z x -64 （B ）
z
y x
64- （C ）
y z y +64 （D ）y
z y
-64
解 （知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法） 将方程两边对x 求导得 460z z
x z y x x
∂∂+-=∂∂，解得
46z x x y z ∂=∂-
3、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴，则 答（ C ） （A ）A=D=0 （B ）B=0，0D ≠ （C ）0D ,0B == （D ）C=D=0 解 （知识点：平面0D Cz By Ax =+++中的系数是否为零与平面位置的关系）
由平面0D Cz By Ax =+++过y 轴知平面平行于y 轴 0B ⇒=. 平面过原点 0D ⇒=，所以有 0D ,0B ==， 选（C ）.
4、 设u =(0,0)
u
x
∂=∂ 答（ A ）
（A ）等于0 （B ）不存在 （C ）等于1- （D ）等于1
解： （知识点：偏导数的定义）
0(0,0)
(0,0)(0,0)0
lim
lim 0x x u f x f x
x
x →→∂+∆-===∂∆∆ ，所以选（A ）
5、极限 00
sin lim
x y xy
x
→→= 答（ C ）
（A ）不存在 （B ）1 （C ）0 （D ）∞ 解： （知识点：二重极限的概念、极限的四则运算性质、重要极限0sin lim
1x x
x
→=的运用）
000
sin sin lim
lim 011x x y y xy xy
y x xy →→→→=⋅=⋅=， 所以选（C ）
二、填空题
1、设函数)ln(sin 2
2
y x y z +=，则
=∂∂y
z
解：（知识点：偏导数的概念、偏导数的计算方法）
)ln(cos 2sin 2
222y x y y
x y y y z +++⋅=∂∂ 2、改变积分⎰⎰e
x dy y x f dx
1
ln 0
),(的积分次序，⎰⎰e x dy y x f dx 1
ln 0
),( =
解：（知识点：化二重积分为二次积分、交换二次积分积分次序的方法）
因为 ln 1
(,)(,)e
x D
dx
f x y dy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰，其中 {(,)1,0ln }D x y x e y x =≤≤≤≤，
所以有 ln 1
(,)(,)e
x D
dx
f x y dy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰=10
(,)y
e e dy
f x y dx ⎰⎰
3、设{2,1,3},{2,1,3}a b =-=-，则25a b += 解：（知识点：向量的坐标运算方法）
252{2,1,3}5{2,1,3}{4,2,6}{10,5,15}{6,3,21}a b +=-+-=-+-=-
4、函数ln()arcsin
y
z y x x
=-+ 的定义域为 解：（知识点：函数的定义域的概念及确定方法）
为使表达式x
y
arcsin
)x y ln(z +-=有意义
0,
1,y
y x y x y x x
⇒->≤⇒>≤， 所以函数的定义域为 x y x <≤-
5、 设 (,^),3,43
a b a b π
=
==，则 (2)a b -⨯=
解：（知识点：外积的概念及运算性质）
(2)22sin(,^)234sin
3
a b a b a b a b π
-⨯=⨯==⋅⋅⋅=
三、解答下列各题 1、求微分方程 y y dx
dy
x
ln = 的通解。
解：（知识点：通解得概念、求解一阶可分离变量方程的方法）
分离变量得
dx x
y y dy 1
ln =， 两边积分有 c x y ln ln )ln(ln +=， 所以方程的通解为： cx
e y =。
2、计算二重积分：⎰⎰+D
d y x σ)23(， 其中D 是由曲线2
x y =及直线y=1所围成的区域。
解：（知识点：二重积分对称性、奇偶性性质在计算二重积分中的应用，直角坐标系下化二
重积分为二次积分的计算方法）
58)51(2)1(2422)23(12
1011
01054
=-=-===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D x D x x dx x ydy dx yd d y x σσ
3、设) ,
(2z
y y x f u =，其中f 为可微函数 ，求,u u
y x ∂∂∂∂。
解：（知识点：多元复合函数求偏导数的链式法则的运用）
11233
'
1.''f u y f f x x z y y ∂∂⎛
⎫=⋅+=
⎪∂∂⎝⎭， )1(')2('.231z f y x f y u +-=∂∂'1
'2213f z f y
x +-=。
4、设 =+xy
u x y
，计算 22u y ∂∂
解：（知识点：二阶偏导数的概念、计算方法）
222()()∂+-=⋅=∂++u x y y x x y x y x y ， 222
233
22()()∂-=⋅=-∂++u x x y x y x y
5、求过点(0,1,2)M -且平行于直线
113
211
x y z -+-==-的直线方程。
解：（知识点：直线方程的概念、直线的点向式方程） 因为所求直线与已知直线
113211
x y z -+-==-平行，所以所求直线的方向为{2,1,1}l =-。
又直线过点(0,1,2)M -，根据直线的点向式方程，所求直线为
12
211
x y z -+==-
6、设23,sin ,x y u e x t y t -===，求
du dt。
解：（知识点：全导数的概念、多元复合函数求偏导数公式）
3
2222sin 2cos (2)3(cos 6)x y x y t t du u dx u dy e t e t t t e
dt x dt y dt
---∂∂=⋅+⋅=+⋅-⋅=-∂∂
四、求函数22(2)x z e x y y =++的极值。
解：（知识点：极值的概念、极值点的必要条件、极值的充分条件）
令222(,)(2241)0,(,)2(1)0x
x x
y f x y x y y e f x y y e ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩
解得函数的驻点 1(,1)2-。
又由 2222(,)4(21),(,)2,(,)(,)4(1)x x x
xx yy xy xy f x y x y y e f x y e f x y f x y y e =+++===+
得黑塞行列式 21(,1)2
20
1
(,1)40022xx xy
yx yy
f f e H e f f e
--=
=
=>。
又由1(,1)202
xx f e -=>，根据极值点的充分条件，函数在点1(,1)2
-处取得极小值1(,1)2
2
e f -=-。