勾股定理单元检测试题邮编:518052 地址:深圳市南山区常兴南路荔香中学数学组 作者:钟国雄(中国数学奥林匹克一级教练,中学高级教师)一、选择题(每题3分,共18分)1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长,其中能构成直角三角形的一组是( )(A )1,2,3 (B )2,3,4 (C )3,4,5 (D )4,5,6 解:因为222345+=,故选(C )2.在一个直角三角形中,若斜边的长是13,一条直角边的长为12,那么这个 直角三角形的面积是( )(A )30 (B )40 (C )50 (D )60解:由勾股定理知,5=,所以这个直角三角形的面积为1125302⨯⨯=.3.如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) (A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米解:依题设11 2.5,0.7AB A B BC ===.在Rt ABC ∆中,由勾股定理,得27 2.4A C == 由12.4,0.4AC AA ==,得11 2.40.42AC AC AA =-=-=. 在11Rt A B C ∆中, 由勾股定理,得21 1.5B C == 所以11 1.50.70.8BB B C BC =-=-=故选(C)4.直角三角形有一条直角边的长是11,另外两边的长都是自然数,那么它的周长是( )(A )132 (B )121 (C )120 (D )以上答案都不对 解:设直角三角形的斜边长为x ,另外一条直角边长为y ,则x y >.由勾股定理,得22211x y =+.图1因为,x y 都是自然数,则有()()1211211x y x y +-==⨯. 所以121,1x y x y +=-=.因此直角三角形的周长为121+11=132. 故选(A )5.直角三角形的面积为S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长为( )(A)2d (Bd (C)2d (D)d 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,12S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=.所以()222222444a b a ab b c S d S +=++=+=+.所以a b +=所以a b c ++=2d . 故选(C )6. 直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )(A )61 (B )71 (C )81 (D )91 解:因为a b a a b +>>-.根据题意,有()()222a b a b a +=-+. 整理,得24a ab =.所以4a b =. 所以3,5a b b a b b -=+=.即该直角三角形的三边长是3,4,5b b b .因为只有81是3的倍数. 故选(C ) 二、填空题(每题3分,共24分)7. 如图2,以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆,其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积,则此三角形的形状为_____. 解:根据题意,有123S S S +=,即222111222222a b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.整理,得222a b c +=.图2故此三角形为直角三角形.8. 在Rt ABC ∆中,3,5a c ==,则边b 的长为______.解:本题在Rt ABC ∆中,没有指明哪一个角为直角,故分情况讨论:当C ∠为直角时,c 为斜边,由勾股定理,得222a b c +=, ∴4b =;当C ∠不为直角时, c 是直角边,b 为斜边,由勾股定理,得222a c b +=, ∴b === 因此,本题答案为49. 如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.解:由勾股定理,知最短距离为10BD ===.10. 如图4,已知ABC ∆中,90ACB ∠=︒,以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形,123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积,1281,225S S ==,则3_____.S = 解:由勾股定理,知222AC BC AB +=,即123S S S +=,所以3114S =.11.如图5,已知,Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,AD BE ==,则斜边AB 之长为______.解: AD 、BE 是中线,设,BC x AC y ==,由已知,5,A D B E ==所以222240,25.22y x x y ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加,得()225654x y +=,所以AB ===图 5图4图312.如图6,在长方形ABCD 中,5DC cm =,在DC 上存在一点E ,沿直线AE 把AED ∆折叠,使点D 恰好落在BC 边上,设此点为F ,若ABF ∆的面积为230cm ,那么折叠AED ∆的面积为_____. 解:由折叠的对称性,得,AD AF DE DF ==.由130,52ABF S BF AB AB ∆=⋅==,得12BF =. 在Rt ABF ∆中,由勾股定理,得13AF ==.所以13AD =.设DE x =,则5,,1EC x EF x FC =-==.在Rt ECF ∆中,222EC FC EF +=,即()22251x x -+=.解得135x =. 故()211131316.9225ADE S AD DE cm ∆=⋅=⨯⨯=. 13.如图7,已知:ABC ∆中,2BC =, 这边上的中线长1AD =,1AB AC +=则AB AC ⋅为_____.解:因为AD 为中线,所以1BD DC AD ===,于是1,2C B ∠=∠∠=∠.但12180C B ∠+∠+∠+∠=︒,故()212180,1290∠+∠=︒∠+∠=︒,即90BAC ∠=︒.又1AB AC +=+,两边平方,得2224AB AC AB AC ++⋅=+而由勾股定理,得224AB AC +=. 所以24AB AC ⋅=.故2AB AC ⋅=.即2AB AC ⋅=.14.在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.解:如图8,作AD BC ⊥于D ,因为1AB AC ==,则BD CD =. 由勾股定理,得222222,AB AD BD AP AD PD =+=+.所以()()2222AB AP BD PD BD PD BD PD BP PC -=-=-+=⋅.所以2221AP BP PC AB +⋅==.图8图7图6因此2122006120062006m m m ++=⨯=.三、解答题(每题10分,共40分)15.如图9,一块长方体砖宽5AN cm =,长10ND cm ==,CD 上的点B 距地面的高8BD cm =,地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食,需要爬行的最短路径是多少?【解】如图9,在砖的侧面展开图10上,连结AB ,则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程.在Rt ABD ∆中,因为51015AD AN ND =+=+=,8BD =,所以22222215828917AB AD BD =+=+==. 所以()17AB cm =.因此蚂蚁爬行的最短路径为17cm .16.如图11所示的一块地,90ADC ∠=︒,12AD m =,9CD m =,39AB m =,36BC m =,求这块地的面积S .解:连结AC ,在Rt ACD ∆中,由勾股定理,得222AC AD DC =+,即222129AC =+,所以15AC =.在ABC ∆中,由22222153639AC BC +=+=,即222AC BC AB +=. 所以ABC ∆为直角三角形,90ACB ∠=︒.所以()211153612921622ABC ADC S S S m ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=.所以这块地的面积为2216m .17.如图12所示,在Rt ABC∆ 图9 图图11中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长.图12答图13解:如图13,因为ABC ∆为等腰直角三角形,所以45ABD C ∠=∠=︒. 所以把AEC ∆绕点A 旋转到AFB ∆,则AFB AEC ∆≅∆. 所以4,,45BF EC AF AE ABF C ===∠=∠=︒.连结DF . 所以DBF ∆为直角三角形.由勾股定理,得222222435DF BF BD =+=+=.所以5DF =. 因为45,DAE ∠=︒所以45DAF DAB EAC ∠=∠+∠=︒. 所以()ADE ADF SAS ∆≅∆. 所以5DE DF ==.18.ABC ∆中,,,BC a AC b AB c ===,若90C ∠=︒,如图14,根据勾股定理,则222c b a =+,若ABC ∆不是直角三角形,如图15和图16,请你类比勾股定理,试猜想22b a +与2c 的关系,并证明你的结论。
解:若ABC ∆是锐角三角形,则有222.a b c +>若ABC ∆是钝角三角形,C ∠为钝角,则有222.a b c +< 当ABC ∆是锐角三角形时,如图17,图14 图15 图16证明:过点A 作AD CB ⊥,垂足为.D 设CD 为x ,则有DB a x =-,根据勾股定理,得 ()2222.b x c a x -=-- 即 222222.b x c a ax x -=-+- ∴ 2222.a b c ax +=+∵ 0,0a x >>, ∴ 20.ax > ∴ 222.a b c +>当ABC ∆是钝角三角形时,图18,证明:过点B 作BD AC ⊥,交AC 的延长线于点.D设CD 为x ,则有222.DB a x =-根据勾股定理,得 ()2222.b x a x c ++-= 即 222222.b bx x a x c +++-= ∴ 2222.a b bx c ++=∵ 0,0b x >>,∴ 20.bx > ∴ 222.a b c +<图17图18。