中考二次函数动点问题(含答案)1.如图①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．（1）求正方形的边长．（2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求两点的运动速度．（3）求（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（4）若点ABCD保持（2）中的速度不变，则点ABCD沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小．当点ABCD沿着这两边运动时，使ABCD的点ABCD有个．（抛物线ABCD的顶点坐标是．[解] （1）作轴于．，．．（2）由图②可知，点从点运动到点用了10秒．又．两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作ABCD轴于ABCD，则ABCD．ABCD ，即ABCD．ABCD．ABCD．ABCD，ABCD．即ABCD．ABCD ，且ABCD，ABCD当ABCD时，ABCD有最大值．此时ABCD，ABCD点ABCD的坐标为ABCD．（8分）方法二：当ABCD时，ABCD．设所求函数关系式为．抛物线过点，．，且，当时，有最大值．此时，点的坐标为．（4）．[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。

．2. 如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．（1）求的度数．（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度．（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（4）如果点ABCD保持（2）中的速度不变，那么点ABCD沿ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小，当点ABCD沿这两边运动时，使ABCD的点ABCD有几个？请说明理由．解: （1）ABCD．（2）点 的运动速度为2个单位/秒． （3） （ ）． 当 时， 有最大值为 ，此时．（4）当点ABCD 沿这两边运动时，ABCD 的点ABCD 有2个． ①当点ABCD 与点ABCD 重合时，ABCD ，当点ABCD 运动到与点ABCD 重合时，ABCD 的长是12单位长度， 作ABCD 交ABCD 轴于点ABCD ，作ABCD 轴于点ABCD ， 由ABCD 得：ABCD，所以ABCD ，从而ABCD ．所以当点ABCD 在ABCD 边上运动时，ABCD 的点ABCD 有1个． ②同理当点ABCD 在ABCD 边上运动时，可算得ABCD．而构成直角时交ABCD 轴于ABCD，ABCD ，所以ABCD ，从而ABCD 的点ABCD 也有1个．所以当点ABCD 沿这两边运动时，ABCD 的点ABCD 有2个．3. （本题满分14分）如图12，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积；（3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .ECAyOB F x MD解：（1）令0=x ，则4=y ； 令0=y 则3=x ．∴ABCD ．ABCD∵二次函数的图象过点，∴可设二次函数的关系式为 42++=bx ax y又∵该函数图象过点 ．∴ 解之，得34-=a ，38=b ．∴所求二次函数的关系式为438342++-=x x y （2）∵438342++-=x x y=()3161342+--x ∴顶点M 的坐标为 过点M 作MF x ⊥轴于F ∴ABCD=()1013164213161321=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯-⨯∴四边形AOCM 的面积为10 （3）①不存在DE ∥OC∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时ABCD ，在ABCD 中，ABCD ． 设点E 的坐标为ABCD ∴54431-=t x ，∴512121-=t x ∵ABCD ，∴tt 2351212=- ∴38=t∵38=t >2，不满足ABCD ．∴不存在ABCD ．②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为1124423543=+++（秒）现分情况讨论如下： ⅰ）当ABCD 时，ABCD；ⅱ）当ABCD 时，设点E 的坐标为ABCD∴()544542--=t y ，∴516362ty -=∴tt t t S 5275125163623212+-=-⨯⨯= ⅲ）当2 <t <1124时，设点E 的坐标为，类似ⅱ可得516363ty -=设点D 的坐标为()44,y x∴532344-=t y ， ∴51264-=t y ∴512632151636321-⨯⨯--⨯⨯=t t =572533+-t ③802430=S47.关于 的二次函数 以 轴为对称轴，且与 轴的交点在 轴上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设 是 轴右侧抛物线上的一个动点，过点 作 垂直于 轴于点 ，再过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，过点 作 垂直于 轴于点 ，得到矩形 ．设矩形 的周长为 ，点 的横坐标为 ，试求 关于 的函数关系式；（3）当点 在 轴右侧的抛物线上运动时，矩形 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．参考资料：抛物线 的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ．解：（1）据题意得： ，．当时，．当时，．又抛物线与轴的交点在轴上方，ABCD．ABCD抛物线的解析式为：ABCD．函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令ABCD，得ABCD．不ABCD时，ABCD，ABCD，ABCD．当ABCD时，，．．关于的函数关系是：当时，；当时，．（3）解法一：当时，令，得ABCD．解得ABCD（舍），或ABCD．将ABCD代入ABCD，得ABCD．当ABCD时，令ABCD，得ABCD．解得ABCD（舍），或ABCD．将ABCD代入ABCD，得ABCD．综上，矩形ABCD能成为正方形，且当ABCD时正方形的周长为ABCD；当ABCD时，正方形的周长为ABCD．解法二：当ABCD时，同“解法一”可得．正方形的周长．当时，同“解法一”可得．正方形的周长．综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．解法三：点在轴右侧的抛物线上，，且点的坐标为．令，则．，①或②由①解得（舍），或；由②解得（舍），或．又，当时；当时．综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC 交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得解得∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴＝即＝∴EF＝过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝∴＝∴FG＝·＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m自变量m的取值范围是0＜m＜8（4）存在．理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0，∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）∴△BCE为等腰三角形．6.（14分）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.（1）求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：抛物线的对称轴为）（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3所以抛物线解析式为ABCD解法二：设抛物线的解析式为ABCD，依题意得：c=4且ABCD解得ABCD所以所求的抛物线的解析式为ABCD（2）连接DQ，在Rt△AOB中，ABCD所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB所以∠CQD=∠CBA。