2020 年中考二次函数与几何图形1.中考相似三角形2.中考线段中的动点问题目录中考复习战略汇集 (1)二次函数与几何图形 (2)模式1：平行四边形 (2)模式2：梯形 (4)模式3：直角三角形 (6)模式4：等腰三角形 (8)模式5：相似三角形 (10)模拟题汇编之动点折叠问题 (11)二次函数与几何图形模式 1：平行四边形分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A 、B 、C 、P 四点构成平行四边形，则可分成 以下几种情况（ （ （ 1）当边 AB 是对角线时，那么有 AP // BC2）当边 AC 是对角线时，那么有 AB //CP3）当边 BC 是对角线时，那么有 AC // BP1 、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m ，△AMB 的面积为 S. 求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值；(3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=－x 上的动点，判断有几个位置能 使以点 P 、Q 、B 、0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标.2 、如图，抛物线 y x 2 2x 3与 x 轴相交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D ．（ （ 1）直接写出 A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；2）连结 BC ，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过 点 P 作 PF//DE 交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ．① 用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为 平行四边形？② 设△BCF 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系．模式 2：梯形分类标准：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A 、B 、C 、P 四点构成梯形，则可分成以下几 种情况（ （ （ 1）当边 AB 是底时，那么有 AB // PC2）当边 AC 是底时，那么有 AC // BP3）当边 BC 是底时，那么有 BC // AP3 、已知，矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图 1 所示，点 A 的坐标为(4,0)， 2 点 C 的坐标为(0， 2) ，直线 y x 与边 BC 相交于点 D ． 3 (1)求点 D 的坐标；(2)抛物线 y ax bx c 经过点 A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；2 (3)在这个抛物线上是否存在点 M ，使 O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若 存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．4 、已知二次函数的图象经过 A （2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线 x ＝4， 设顶点为点 P ，与 x 轴的另一交点为点 B ．（ （ 1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；2）如图 1，在直线 y ＝2x 上是否存在点 D ，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若 存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒 个 2 单位长度的速度由点 P 向点 O 运动，过点 M 作直线 MN//x 轴，交 PB 于点 N ．将 PMN 沿直线 MN 对折，得到△P MN ． 在动点 M 的运动过程中，设△P MN △ 1 1 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S ，运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系 式．模式 3：直角三角形分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A 、B 、P 三点构成直角三角形，则可分成以 下几种情况（ （ （ 1）当A 为直角时， ACAB 2）当B 为直角时， BCBA 3）当C 为直角时，CA CB5 、如图 1，已知抛物线 y ＝x 2＋bx ＋c 与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 左侧）， 与 y 轴交于点 C(0，－3)，对称轴是直线 x ＝1，直线 BC 与抛物线的对称轴交于 点 D ．（ （ （ 1）求抛物线的函数表达式；2）求直线 BC 的函数表达式；3）点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交 CE 于点 F ，交抛物线于 P 、Q 两点，且点 P 在第三象限．3 ① ② 当线段 时，求 tan ∠CED 的值； PQ AB 4当以 C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P 的坐标．4 6 ：如图 1，直线 y x 4 和 x 轴、y 轴的交点分别为 B 、C ，点 A 的坐标是（-2， 30 ）．（ （ 1）试说明△ABC 是等腰三角形；2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向 点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度．当其中一个动点到达终点时， 他们都停止运动．设 M 运动 t 秒时，△MON 的面积为 S ．① ② 求 S 与 t 的函数关系式；设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S ＝4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由；③ 在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求 t 的值．模式 4：等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A 、B 、P 三点构成等腰三角形，则可分成以 下几种情况（ （ （ 1）当A 为顶角时， ACAB 2）当B 为顶角时， BCBA 3）当C 为顶角时，CA CB7 ：已知：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正 半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点 O 作∠AOC 的平分线 交 AB 于点 D ，连接 DC ，过点 D 作 DE ⊥DC ，交 OA 于点 E ．（ （ 1）求过点 E 、D 、C 的抛物线的解析式；2）将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F ， 另一边与线段 OC 交于点 G ．如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M ，点 M6 的横坐标为 ，那么 EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请 5说明理由；（ 3）对于（2）中的点 G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q ，使得 直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求 出点 Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．8、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x 2．＝(1)求该抛物线的解析式．(2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由．(3)在(2)的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．yP OC DA B xQ模式 5：相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角9 、在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B = 45 0 ，AD = 2，BC = 6，以 BC 所在 直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 A 在 y 轴上。

（ （ （ 1） 求过 A 、D 、C 三点的抛物线的解析式。

2） 求△ADC 的外接圆的圆心 M 的坐标，并求⊙M 的半径。

3） E 为抛物线对称轴上一点，F 为 y 轴上一点，求当 ED ＋EC ＋FD ＋FC 最小时， EF 的长。

（4） 设 Q 为射线 CB 上任意一点，点 P 为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是 否存在这样的点 P 、Q ，使得以 P 、Q 、C 为顶点的△与△ADC 相似？若存在，直接 写出点 P 、Q 的坐标，若不存在，则说明理由。

模拟题汇编之动点折叠问题1 .已知二次函数 yxbx c 与 x 轴交于 A （－1，0）、B （1，0）两点.2（ （ 1）求这个二次函数的关系式；2）若有一半径为 r 的⊙P，且圆心 P 在抛物线上运动，当⊙P 与两坐标轴都相 切时，求半径 r 的值.3）半径为 1 的⊙P 在抛物线上，当点 P 的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P 与 y 轴相离、相交？（ 2 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yxbx c 的图象与 x 轴交于 A 、B2两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C （0，-3）点， 点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（1）分别求出图中直线和抛物线的函数 表达式；（ 2）连结 PO 、PC ，并把△POC 沿 C O 翻折，得到四边形 POP ′C ， 那么是否 存在点 P ，使四边形 POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由.解：将 B 、C 两点的坐标代 y=kx+b, 0=3k-3, k=1,∴y=x -3…………1 分3b c 0b 2将B、C两点的坐标代入得：，解得：c 3c 3所以二次函数的表达式为：y x 2x 3.…………………3分2/（2）存在点P，使四边形POP C为菱形.设P点坐标为（x，x22x 3），//PP交CO于E.若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO.…………………5分32/连结PP则PE⊥CO于E，∴OE=EC=3232∴y=.∴x 2x 3=.………………………………6分2210210解得x=，x=（不合题意，舍去）12222103∴P点的坐标为（，）.…………………………9分223.已知抛物线y x 3x 4交y轴于点A，交x轴于点B,C（点B在点C的右2侧）.过点A作垂直于y轴的直线l.在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q.连接AP.（（①②1）写出A，B，C三点的坐标；2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M.是否存在点P，使得点M落在x轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.A BDNCMP4 .在直角梯形 ABCD 中，∠B ＝90°，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4，M 、N 分别是底边 BC 和腰 CD 上的两个动点，当点 M 在 BC 上运动时，始终保持 AM ⊥MN 、NP BC ．⊥ (1)证明：△CNP 为等腰直角三角形；(2)设 NP ＝x ，当△ABM ≌△MPN 时，求 x 的值；(3)设四边形 ABPN 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 x 取何值时， 四边形 ABPN 的面积最大，最大面积是多少．解：（1）过 D 作 DQ ⊥BC 于 Q ，则四边形 ABQD 为平行四边形 DQ=AB=3， BQ=AD=1 ∴ ∴ （ ∵ ∴ ∴ （ QC=DQ△DQC 中∠C=∠QDC=45°Rt △NPC 为等腰 Rt △ 2）∵VABM ≌VMPN △NPC 为等腰 Rt △ ………………(4 分) MP=AB=3, BM=NP1 2PC=NP= x∴BM=BC －MP －PC=1－x∴1- x= x ∴ x=1 当VABM ≌VMPN 时，x = ……(8 分)21 12 1 13） S 四边形ABPN =(AB+NP) BP= (3+ x)(4 － x)= － x 2 +x+ 6= － 2 2 21 2 1( x- )+6.125(11 分) 21∴ 当 x 取 时，四边形 ABPN 面积最大，最大面积为 6.125.……(14 分)25 .在直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（2，2），点 C 是线段 OA 上的 一个动点（不运动至 O ，A 两点），过点 C 作 CD⊥x 轴，垂足为 D ，以 CD 为边在 右侧作正方形 CDEF. 连接 AF 并延长交 x 轴的正半轴于点 B ，连接 OF,设 OD ＝t. ⑴ ⑵ ⑶ 求 tan∠FOB 的值；用含 t 的代数式表示△OAB 的面积 S ；是否存在点 C, 使以 B ，E ，F 为顶点的三角形与△OFE 相似，若存在，请求出 所有满足要求的 B 点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)作 AH⊥x 轴于 H ，交 CF 于 P ∵ ∴ A(2,2)∴AH=OH=2∴∠AOB=45° t 12CD=OD=DE=EF=t∴ tan FOB……………………3 分2 t (2)∵CF∥OB ∴△ACF∽△AOB AP CF 2 t t ∴ 即AH OB 2 OB 2 t 1 2t ∴ OB∴ S OABOB AH(0 t 2) ………………6 分2 t2 2 t(3)要使△BEF 与△OFE 相似,∵∠FEO=∠FEB=90° OE EF OE EF∴ 只要 或EB EF EF EB 1 即: BE2t 或 EBt 2① ∴ 当 BE 2t 时, BO4t ,2 t3 24t ∴t0(舍去)或t∴B(6,0)……………………8 分2 t 1② 当 EBt 时, 25 (ⅰ) 当 B 在 E 的右侧时,OB OE EBt , 22 t 5 6 5 ∴ t ∴t0(舍去)或t∴B(3,0)…………………10 分2 t 23(ⅱ) 当 B 在 E 的左侧时,如图，OB OE EB t , 22 t3 2 3∴ t ∴t0(舍去)或t∴B(1,0) ……………………12 分2 t 25 9 .（本小题满分 12 分）如图，抛物线的顶点坐标是 ，－ ，且经过点 A( 8 ,14 ).8 6 2 (1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与 y 轴相交于点 B ，与 x 轴相交于C 、 D 两点（点C 在点 D 的左 边），试求点 B 、C 、 D 的坐标；(3)设点 P 是 x 轴上的任意一点，分别连结 AC 、 BC ． 试判断： PA PB 与 ACBC 的大小关系，并说明理由.y． Ay． AB B O CDxO C EP Dx(第 24 题图)5 2 解：（1）（4 分）设抛物线的解析式为 ya x ……………1 分2 98 5 29 12∵ ∴ 抛物线经过 A(8,14) ，∴14＝a 8，解得： a…………2 分 2 8 21 5 y x （或 y 29 1 2 5 x 2 x 2 ） …………………………1 分 2 8 2（ 2）（4 分）令 x 0得 y 2，∴ B(0,2) …………………………1 分 1 5令 y0得 x x 20，解得 x1、 x 4 ………………………2 分122 2 2∴ C(1, 0)、 D(4 ,0 ) …………………………………………………………1 分 （ 3）（4 分）结论： PA PBACBC…………………………………1 分 理由是：①当点 P 与点C 重合时，有 PA PBACBC ……………1 分② 当点P 异于点C 时 ，∵直线 AC 经过点 A(8,14) 、C(1,0) ，∴直线 AC 的解析式为 y2x 2 ………3 分设直线 AC 与 y 轴相交于点 E ，令 x 0，得 y2 ，∴ E(0,2) ，则点E(0,2)与B(0,2) 关于 x 轴对称∴ ∴ ∵ ∴ BC EC ，连结 PE ，则 PE PB ， ACBCACECAE ， 在 APE 中，有 PA PE AE PA PBPA PEAEACBC …………………………………1 分综上所得 AP BP ACBC ………………………………………………1 分7 .．如图，已知二次函数 y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象经过 A(－2，－1)，B(0,7)两点． (1)求该抛物线的解析式及对称轴； (2)当 x 为何值时，y ＞0?(3)在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线 l ，与抛物线交于 C 、D 两点(点 C 在对称轴的 左侧)，过点 C 、D 作 x 轴的垂线，垂足分别为 F 、E.当矩形 CDEF 为正方形时， 求 C 点的坐标．解：解：(1)把 A(－2，－1)，B(0,7)两点的坐标代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ，得 － 4－2b ＋c ＝－1 b ＝2 c ＝7， 解得.c ＝7所以，该抛物线的解析式为 y ＝－x 2＋2x ＋7，又因为 y ＝－x 2＋2x ＋7＝－(x －1)2＋8，所以对称轴为直线 x ＝1. (2)当函数值 y ＝0 时，－ x 2＋2x ＋7＝0 的解为 x ＝1±2 2，结合图象，容易知道 1－2 2<x<1＋2 2时，y>0. (3)当矩形 CDEF 为正方形时，设 C 点的坐标为(m ，n)， 则 n ＝－m 2＋2m ＋7，即 CF ＝－m 2＋2m ＋7. 因为 C 、D 两点的纵坐标相等， 所以 C 、D 两点关于对称轴 x ＝1 对称， 设点 D 的横坐标为 p ，则 1－m ＝p －1，所以 p ＝2－m ，所以 CD ＝(2－m)－m ＝2－2m. 因为 CD ＝CF ，所以 2－2m ＝－m 2＋2m ＋7， 整理，得 m 2－4m －5＝0，解得 m ＝－1 或 5.因为点 C 在对称轴的左侧，所以 m 只能取－1. 当 m ＝－1 时，n ＝－m 2＋2m ＋7＝－(－1)2＋2×(－1)＋7＝4. 于是，点 C 的坐标为(－1,4)．8 .如图，在△ABC 中，已知 AB ＝BC ＝CA ＝4cm ，AD ⊥BC 于 D ，点 P 、Q 分 别从 B 、C 两点同时出发，其中点 P 沿 BC 向终点 C 运动，速度为 1cm/s ；点 Q 沿 CA 、AB 向终点 B 运动，速度为 2cm/s ，设它们运动的时间为 x(s)。