三、求直线到平面的距离 同样原理可以得到直线到平面的距离、 平行平面间的距离公式．在公式d=
| n AB | 中，n为已知平面的法向量， |n| A 、B 分别为直线和平面上的任意点(如图)．
【例3】 如图所示，已知边长为4 2 的正三角形A B C 中，E 、F 分别为 B C 和A C 的中点，P A ⊥平面A B C ， 且P A =2，设平面α过P F 且与A E 平行， 求A E 与平面α的距离．
2 6y|e2|2＝0， ⇒ 2 2 2 － 2 x | e | ＋ 6 y | e | ＋ 2| e | ＝0 1 2 3 2 x＝ ， 2 y＝0. 2 故n＝ e1＋e3. 2 所以直线A E 与平面α的距离为
| n AP | |n| 2e1 ( 2 e1 e3 ) 2
解析 如图建立空间直角坐标系，则 B （0 ，4 ，
0），E （2，4，0），F （4，2，0）， G （0,0,2）, EF =（2，-2，0），
GE Байду номын сангаас（2，4，-2），BE =（2,0，0）.
设平面E F G 的一个法向量是n= (x,y,1),
( x, y,1) (2,2,0) 0 则由n EF , n GE得 ( x, y,1) (2,4,2) 0 1 x , x y 0 1 1 3 所以n ( , ,1). 3 3 x 2 y 1 y 1 . 3 n BE 2 11 则点B到平面GEF的距离为d . |n| 11
点评
用平面法向量的方法求空间距离时，避免了
繁琐的推理论证，只要进行向量运算即可，能收到 化隐为显、化难为易的功效.
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且n DA1 , n AC, ( x, y,1) (1,0,1) 0, x 1. 则 ( x, y,1) (1,1,0) 0 y 1 n (1,1,1). 所以异面直线 DA1与AC的距离为 d | n DA | | (1,0,0) (1,1,1) | 3 . |n| | (1,1,1) | 3
【例2】 解析
已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1， 如图建立空间直角坐标系，
求异面直线DA1与AC的距离.
则A（1，0，0），C（0，1，0）， B1（1，1，1），A1（1，0，1），
AC (1,1,0), DA ,0,1), DA (1,0,0).设向量n ( x, y,1), 1 (1
2
⇒
d

2 e1 | e3 |2 2
2 3 . 3
四、求两平行平面间的距离 如图，在公式 d
| n AB | 中， |n|
n为两平行平面的一个法向量， A 、B 分别为两平面上的任意点． 【例4】 已知正方体A B C D —A 1B 1C 1D 1
的棱长为1，求平面A B 1C 与平面A 1C 1D 间的距离．
二、求异面直线间的距离 如图，若C D 是异面直线a、b的公 垂线，A 、B 分别为a、b上的任意点， 令向量n⊥a，n⊥b，则n∥C D .
由AB AC CD DB, 得 AB n AC n CD n DB n AB n CD n,| AB n || CD || n | . n AB 异面直线a、 b 间的距离为d | CD | . |n|
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用向量法求空间距离
对于立体几何中的距离问题，应用向量往往可以 轻松地找到解决问题的突破口，简化求解过程，方 便易行．下面就通过例题来讨论用向量法解决立体 几何中求点到平面的距离、异面直线间的距离、直 线到平面的距离、平行平面间的距离等问题．
一、求点到平面的距离 如图所示，已知点B （x0,y0,z0）， 平面α内一点A （x1,y1,z1），平 面α的一个法向量n，由数量积的
(x，y，1)·(1，0，1)＝0 ⇒ (x，y，1)·(0，1，1)＝0 x＝－1， ⇒ y＝－1.
x＋1＝0 ⇒ y＋1＝0
故n＝(－1，－1,1)，所以平面A B 1C 与平面A 1C 1D 间
| n AD | | (1,0,0) (1,1,1) | 3 的距离为d . 2 2 2 |n| 3 (1) (1) 1
2e1 6e2 2e3 设n＝xe1＋ye2＋e3是平面α的一个法向量，
则n AE, n PF, 所以
n AE 0 ( xe1 ye2 e3 ) 2 6e2 0, ( xe1 ye2 e3 ) (2e1 6e2 2e3 ) 0 n PF 0
n AB | n || AB | cos , 其中 n, AB , 定义知：
则 | AB | cos | n AB | 即d . |n| n AB , 所以 || AB | cos | 就是B到平面的距离d , |n|
【例 1】已知正方形 A B C D 的边长为 4，C G ⊥平面 A B C D ，C G =2，E 、F 分别是 A B 、A D 的中点，求 点 B 到平面 G E F 的距离.
解析 建立如图所示的空间直角坐标 系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)， D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)， C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)．
设平面A 1C 1D 的一个法向量为
n DA1 0 n ( x, y,1),则 n DC1 0
解析 设 AP 、AE 、 EC上单位向量分别为 e1 、 e2 、 e3 , 选取{e1 , e2 ,
e3}作为空间向量的一组基底，可得e1·e2＝e2·e3＝e3·e1 ＝0，且 AP 2e1 , AE 2 6e2 , EC 2 2e3 .
1 1 则 AF PA AF PA AC PA ( AE EC ) 2 2