n
a
b
P
AP ?
n?

A
n 是与 a, b
都垂直的向量
作业 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 1，E为D1C1的中点，求下列问题：
求异面直线D1B与A1E的距离.
z
E
D1
A1
C1
B1
D
C
A
y
x
B
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴， DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示 1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 z 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 E D1 C1 设n ( x, y, z )是与 A1E , D1B都垂直的向量， 1 A1 则 B1 n A E 0, x y 0, 1 2 n D1 B 0, x y z 0, D y 2 x, C 即 取x＝ 1，得其中一个n (1, 2,3) z 3x, B 选A1E与BD1的两点向量为D1 A1 1,0,0 , A D1 A1 n 14 得A1E与BD1的距离 d 14 n
二、直线到平面的距离
l
| AP n | d n
A
P
d
O
n
其中 AP 为斜向量， n 为法向量。
三、平面到平面的距离
n
P
| AP n | d n

d
A
O
四、异面直线的距离
| AP n | d n
空间距离问题的向量解法
一、求点到平面的距离
一般方法：Leabharlann 利用定义先作出过 这个点到平面的垂 线段，再计算这个 垂线段的长度。
P
d

O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
| AP n | d n

A
P
n
d
O
其中 AP 为斜向量， n 为法向量。
y
x
四种距离的统一向量形式：
直线到平面的距离： | AP n | d 平面到平面的距离： n
异面直线的距离：
点到平面的距离：
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。