M
ML LaP2 = 3EI 3EI
2
θ3B
D
B
P2 La f 3 C =θ 3 B a = 3 EI
§6–4 梁刚度校核 4
叠加求复杂载荷下的变形 C
=
A
图1
D
B P1=1kN
θB
P1 L 2 P2 L a = 16 EI 3EI
+
a C P2
B
图2
P1 L2 a P2 a 3 P2 a 2 L fC = 16 E I 3EI 3EI
图2
§6–4 梁刚度校核 4
L=400mm A D B a=0.1m P C x P2=2kN 解: 结构变换,查表求简单 载荷变形. 查表:序号7
200mm P1=1kN f
θ 1B =
A
图1
P1 L 2 16 EI
D
B P1=1kN
θ1B C
f1C
P1 L 2 a f 1 C =θ 1 B a = 16 EI
(0 ≤ x ≤ a ) (a ≤ x ≤ L)
§6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 2
解: 写出微分方程的积分并积分 a L f P x
P(a x) EI f ′′ = 0
(0 ≤ x ≤ a ) (a ≤ x ≤ L)
1 P ( a x ) 2 + C1 ′= 2 EI f D1
二,结构形式叠加(逐段刚化法): 结构形式叠加(逐段刚化法):
§6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 3
P A C a P A a 解, 载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表, q B 例4 按叠加原理求A点转角和C点 挠度.
= =
B 查简单载荷引起的变形.
Pa 2 θ PA = 4 EI qa 3 θ qA = 3 EI
一,挠曲线近似微分方程
1 M z ( x) EI z
小变形
3
ρ
=
M>0
x
1
f ′′( x) < 0
f x M<0 f ′′( x) > 0
ρ
=±
f ′′( x) (1 + f ′2 )
2
≈
± f ′′( x)
M z (x) ∴ f ′′ ( x ) = ± EI z
M ( x) ∴ f ′ ′( x ) = EI
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线,最大挠度及最大转角. 解: 建立坐标系并写出弯矩方程 M ( x) = P( x L) 写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数 f L x P
EIf ′′ = M ( x) = P ( L x)
1 ′ = P( L x) 2 + C1 EIf 2 1 EIf = P( L x) 3 + C1 x + C2 6
x
q 2 ′′ = M ( x ) = ( L x ) EIf 2 q 3 ′ = (L x) + C EIf 6 q 4 EIf = ( L x ) + Cx + D 24
∴C =
1 3 qL ; 6
D=
1 4 qL 24
§6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 3
解: A 积分并求B点的转角和挠度 q B L f x
图3
§6–4 梁刚度校核 4
L=400mm A D B a=0.1m P C x P2=2kN a B
图2
解: 结构变换,查表求简单 载荷变形.
查表:序号2
200mm P1=1kN f
C P2
f 2C
θ 2 B =0
查表:序号5
P2 a 3 f 2C = 3EI
+
P2 A
图3
θ 3 B =
f3C
C
f PC f qC
Pa 3 = 6 EI
+
q B
A
5 qa 4 = 24 EI
§6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 3
P A C a P A a q B
Pa 2 θ PA = 4 EI qa 3 θ qA = 3 EI
f PC f qC
Pa 3 = 6 EI
5 qL 4 = 24 EI
= =
B
叠加
[
]
θ max
PL2 = θ ( L) = 2 EI
f max
PL3 = f ( L) = 3EI
§6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 3
例2 求下列等截面直梁B点的位移(挠度和转角). A q B L f x 解: 建立坐标系 写弯矩方程
q M ( x) = ( L x) 2 2 q 3 EIf ′ = ( L x ) + C1 6
P
f = f1 + f 2
等价 C
刚化AC段 C
= +
C
L2
P Bx f1
L1 A
P
等价
f A f
L1 C
P L2 M B x
B
f2
第六章弯曲变形
§6–4 梁刚度校核 4
§6–4 梁刚度校核 4
一,梁的刚度条件
f max L f ≤ L 1 f ( 对土建工程 : ∈ ( 250 L ~ 1 1000 ))
§6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 2
P 解: 应用位移边界条件求积分常数 L x f
EIf ′′ = M ( x) = P ( L x)
1 EIf ′ = P( L x) 2 + C1 2 1 3 EIf (0) = PL + C2 =)3 + C1 x + C2 6
+
D
B
C P2=2kN
§6–4 梁刚度校核 4
L=400mm A D B a=0.1m P C P2=2kN C
图1
图1 可以直接查表, 图2 还可以分解为: A
图2
200mm P1=1kN
D
B P2
C
= =
=
A
D
B P1=1kN
a B P2 P2 A D B M C C
+
+
A
D
B
C P2=2kN
θ A =θ
PA
+θ
qA
A
q B
a2 ( 3 P + 4 qa ) = 12 EI
+
5 qa 4 Pa 3 fC = + 24 EI 6 EI
§6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 3
L1 A f C f L2 例5 结构形式叠加(逐段刚 化法) 原理说明. B x P
L1 A
L2 B L2
刚化BC段
积分并求B点的转角和挠度
q 2 EIf ′′ = M ( x ) = ( L x ) 2
q 4 EIf = ( L x ) + Cx + D 12
§6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 3
解: A 积分并求B点的转角和挠度 q B L f
1 3 EIθ (0) = EIf ′(0) = qL + C = 0 6 1 4 EIf (0) = qL + D = 0 24
θ
max
≤ [ θ
]
其中[θ]称为许用转角;[f/L]称为许用挠跨比.通常依此条件 进行如下三种刚度计算: ,校核刚度:
f max L f ≤ L
θ
max
≤ [ θ
]
,设计截面尺寸; (但:对于土建工程,强度常处于主要地位, ,设计载荷. 刚度常处于从属地位.特殊构件例外)
§6–4 梁刚度校核 4
例6 一空心圆杆,内外径分别为:d=40mm,D=80mm,杆的
E=210GPa,工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的[θ]=0.001
弧度,试校核此杆的刚度. L=400mm A D B a=0.1m P C A 解:
D
B P1=1kN
C
200mm P1=1kN
P2=2kN 图1 A 图2
θ (a ) = θ (a + )
∴ C1 = D1 ∴ C1a + C2 = D1a + D2
f (a ) = f (a + )
1 1 2 ∴ C 1 = D1 = Pa ; C 2 = D 2 = Pa 3 2 6
§6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 2
写出弹性曲线方程并画出曲线
P (a x)3 + 3a 2 x a3 6EI f ( x) = P 3a 2 x a3 6EI
EIf ( x ) = ∫ ( ∫ ( M ( x )) d x ) d x + C1 x + C 2
2.位移边界条件 P A C B D P
§6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 2
支点位移条件:
fA = 0 fD = 0
连续条件: 光滑条件:
讨论:
fB = 0
A D
PP C
B
θD = 0
fC = fC +
…… (2) )
f
式(2)就是挠曲线近似微分方程.
§6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 2
对于等截面直梁,挠曲线近似微分方程可写成如下形式:
′ EIf ′ (x) = M(x)
二,求挠曲线方程(弹性曲线) 求挠曲线方程(弹性曲线) 1.微分方程的积分
EIf ′′( x) = M ( x)
EI f ′( x ) = ∫ ( M ( x )) dx + C1
第六章 弯曲变形
第六章弯曲变形
§6–1 1 §6–2 2 §6–3 3 §6–4 4 §6–5 5 §6–6 6 概述 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 按叠加原理求梁的挠度与转角 梁的刚度校核 简单超静定梁的求解方法 如何提高梁的承载能力