积分一次 EdI w EI1F(xl)2C
dx 2
再积分一次
EIw1F(xl)3C xD 6
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0, wA 0
代入求解
C1F2l, D1F3l
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
y
Ax
wB
l
EI1F(xl)21F2l
2
2
EIw 1F(xl)31F2xl1F3l
d 2w dx2
M (x) EIz
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
挠曲线的近似微分方程为：
d 2w M (x) dx2 EIz
积分一次得转角方程为：
EIz
d2w dx2
M(x)
EzId dw x EzIM (x)d xC
再积分一次得挠度方程为：
E zw I M (x )dx C d x x D
CB 段： ax2 l
y
F
A
A
D C B B x
F Ay
wmax
F By
x1
x2
a
b
E2I F 2 lx 2 2 b F 2(x 2 a )2 F 6 l(lb 2 b 2 )
E2I F 6 w lx 2 3 b F 6(x 2 a )3 F 6 l(l2 b b 2 )x 2
6）确定最大转角和最大挠度
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续
条件确定。
位移边界条件
光滑连续条件
~
~
~
AA A AA
wA 0
~
~
~
~ ~~ ~
~ ~
~
~
AA
AA
A
A A
A
A AA AA
A
AA AA
A
A
~
~
~~ ~
~
~
~
A AA A
wA 0
A 0
wA
－弹簧变形
wALwAR
ALAR
wALwAR
§7-3 用积分法求弯曲变形
AC 段： 0x1 a
EId2w1 dx12
M(x1)Fl bx1
Ed d I 11w xEI(x1)F 2lb x1 2C1
EI1w F 6l bx13C1x1D1
CB 段：
ax2 l
Ed Id2w 2 22 xM (x2)F l x b2F(x2a)
y
F
A
A
DC
F Ay
wmax
x1
x2
a
b
B B x
i1
由于梁的边界条件不变，因此
n
w wi i 1
重要结论：
n
i, i 1
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
wC1
wC2 wC3
例3 已知简支梁受力如图示，
q、l、EI均为已知。求C 截面 的挠度wC ；B截面的转角B
F By
Ed d I2 2w x E(Ix2)F 2 lxb 2 2F 2(x2 a )2 C 2
E2Iw F 6 lxb 3 2F 6(x2 a )3 C 2x2D 2
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, w1(0) 0 x2 l, w2(l) 0
光滑连续条件 x1x2a, x1x2a,
第7章 弯曲变形的计算
本章主要内容
§7-1 概述 §7-2 挠曲线的近似微分方程 §7-3 用积分法求弯曲变形 §7-4 用叠加法求弯曲变形 §7-5 简单超静定梁 §7-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
§7-1 概 述
§7-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念
挠曲线方程：
y
转角 挠度 挠曲线
ww(x)
挠度w：截面形心
w
在y方向的位移
x
x
w向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dw
dx
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M
ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
(x) EIz
由数学知识可知：
代入求解，得
1(a)2(a)
w1(a)w2(a)
C1C2
1FblF3b
6
6l
D1 D2பைடு நூலகம்0
y
F
A
A
D C B B x
F Ay
wmax
F By
x1
x2
a
b
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0x1 a
EI1F 2l x b1 2F 6l(b l2b2)
EI1 wF 6l x b1 3F 6l(bl2b2)x1
EIdd2w x2 EIw'M ' (x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为 Mi (x) ，转角为 i ，挠度为 w i ，则有：
EIw i 'M ' i(x)
n
由弯矩的叠加原理知：Mi(x)M(x) i1
所以，
n
n
E I w''i E(Iwi)''M(x)
i1
i1
n
故
w'' (wi )''
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
y
FAx0, FAyF(), MA Fl( ) A x
wB
2）写出x截面的弯矩方程
l
F Bx
B
M (x ) F ( l x ) F (x l)
3）列挠曲线近似微分方程并积分
EIdd2w 2xM(x)F(xl)
令 d 0 dx
得，
xl,m axB6 F E(a lI b la)()
令 dw 0 dx
得，
y
F
A
A
DC
F Ay x1
x2
a
wmax
b
B B x
F By
xl2b2, 3
Fb (l2b2)3
w max
() 93EIl
§7-4 用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为w，则有：
A
2）弯矩方程
F Ay x1
F DC
wmax
B B x
F By
AC 段：
x2
M x1F Ax y1F l x b 1,0x1a
a
b
CB 段：
M x 2 F A x 2 yF ( x 2 a ) F lx 2 F b ( x 2 a ), a x 2 l
3）列挠曲线近似微分方程并积分
d2y
1
dx 2
[1 ( dy )2 ]3
dx
略去高阶小量，得
1 d2y
dx 2
所以 d2 y M(x) dx2 EIz
y M (x) > 0
M (x) > 0
d2y
dx 2 > 0
x
O
y
M (x) < 0
M (x) < 0
d2y
dx 2 < 0
x
O
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
6
26
6）确定最大转角和最大挠度
xl, ma xB2 F E 2,lIw ma x yB3 F E 3lI
F Bx
B
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
y
解 1）由梁整体平衡分析得：
A
F Ax 0,F Ay F l ,b F By F l a