1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，给出以下四个结论：(1)直线D1C∥平面A1ABB1；(2)直线A1D1与平面BCD1相交；(3)直线AD⊥平面D1DB；(4)平面BCD1⊥平面A1ABB1 .上述结论中，所有正确结论的序号为__________．2.在所有棱长都相等的三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：(1)BC∥平面PDF；(2)DF∥平面PAE；(3)平面PDF⊥平面ABC; (4)平面PDF⊥平面PAE.其中正确命题的序号为__________．解析：由条件可证BC∥DF ，则BC∥平面PDF ，从而(1)正确；因为DF 与AE相交，所以(2)错误；取DF 中点M(如图)，则PM⊥DF ，且可证PM与AE不垂直，所以(3)错误；而DM⊥PM，DM⊥AM，则DM⊥平面PAE.又DM⊂平面PDF ，故平面PDF ⊥平面PAE，所以(4)正确．综上所述，正确命题的序号为(1)(4)．3.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，其中正确命题的序号为__________．①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.解析：取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，所以平面MNB∥平面A1DE，4.(2017·苏锡常镇二模)如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC＝BC，∠ACD＝90°.(1)求证：AB⊥平面EDC；(2)若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD.解析：(1)因为平面ABC⊥平面ACD，∠ACD＝90°，即CD⊥AC，平面ABC∩平面ACD＝AC，CD⊂平面ACD，所以CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB，因为AC＝BC，E为AB的中点，所以CE⊥AB，又CE∩CD＝C，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，所以AB⊥平面EDC.(2)连EF ，EG，因为E，F 分别为AB，AD的中点，所以EF ∥BD，又BD⊂平面BCD，EF ⊄平面BCD，所以EF ∥平面BCD，同理可证EG∥平面BCD，且EF ∩EG＝E，EF ⊂平面BCD，EG⊂平面BCD，所以平面EF G∥平面BCD，又P为F G上任一点，所以EP∥平面EF G，所以EP∥平面BCD.5.(2017·南京二模)如图，四棱锥P­ABCD中， AD⊥平面PAB，AP⊥AB.(1)求证：CD⊥AP；(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB.解析：(1)因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP.又因为AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP.6. (2017·江苏卷)如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D 不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.解析：(1)在平面ABC内，因为AB⊥AD，EF ⊥AD，所以EF ∥AB，又因为EF ⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF ∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD，因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD，又因为AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.7.如图，在三棱锥S­ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝AC＝33BC，D是边BC的中点，E是线段AD上一点，且AE＝4DE，M是线段SD上一点．(1)求证：BC⊥AM；(2)若AM⊥平面SBC，求证：EM∥平面ABS.解析：(1)因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC. 又SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以SA⊥BC.又AD∩SA＝A，所以BC⊥平面SAD.又AM⊂平面SAD，所以BC⊥AM.8.如图，四棱锥P­ABCD的底面为矩形，且AB＝2BC，E，F分别为棱AB，PC的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)若点P在平面ABCD内的正投影O在直线AC上，求证：平面PAC⊥平面PDE.解析：(1)证法1 如图1，取线段PD的中点M，连结F M，AM.图1因为F 为PC的中点，所以F M∥CD，且F M＝12 CD.因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝12 CD.所以F M∥EA，且F M＝EA.所以四边形AEF M为平行四边形．所以EF ∥AM.又AM⊂平面PAD，EF ⊄平面PAD，所以EF ∥平面PAD.证法2 如图2，连结CE并延长交DA的延长线于点N，连结PN.图2因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC.所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA.所以CE＝NE.又F 为PC的中点，所以EF ∥NP.又NP⊂平面PAD，EF ⊄平面PAD，所以EF ∥平面PAD.证法3 如图3，取CD的中点Q，连结F Q，EQ.图3因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以F Q ∥PD .又PD ⊂平面PAD ，F Q ⊄平面PAD ，所以F Q ∥平面PAD .又F Q ，EQ ⊂平面EQF ，F Q ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面 PAD .因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面PAD .(2)设AC ，DE 相交于点G (如图 4)．图4在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点．所以DA AE ＝CD DA ＝ 2. 又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ，所以∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°，所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°.由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°.即DE ⊥AC .因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，所以PO ⊥平面ABCD .因为DE ⊂平面 ABCD ，所以PO ⊥DE .因为PO ∩AC ＝O ，PO ，AC ⊂平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .9.在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1＝2AB ，点D 是BC 的中点，点M 在CC 1上，且CM ＝18CC 1. 求证：(1)AC 1∥平面AB 1D ；(2)平面AB1D⊥平面ABM.解析：(1) 记A1B∩AB1＝O，连接OD.因为四边形AA1B1B为矩形，所以O是A1B的中点，又因为D是BC的中点，所以A1C∥OD.又因为A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D.(2)因为△ABC是正三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC.10.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是__________．解析：如图所示，在矩形ABCD 中，过点D 作DG ⊥AF ，垂足为点G ，且交AB 于点H ，将△AF D 沿AF 翻折后，形成二面角 D ­AF ­B .因为∠DGH 为二面角D ­AF ­B 的平面角，所以点D 在平面ABCD 上的射影在直线GH 上，又因为平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，所以点D 在平面ABC 上的射影在直线AB 上，从而点D 在平面ABC 上的射影就是直线AB 与直线GH 的交点H ，又已知点D 在平面ABC 上的射影为点 K ，所以点H 与点K 重合，在矩形ABCD 中，因为△DAH ∽△F DA ，所以AH DA ＝DA FD ，又AD ＝BC ＝1，所以AH ＝1DF，因为DF ∈(1,2)，所以t ＝AH ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 11.如图所示，在三棱台ABC ­DEF 中， CF ⊥平面DEF ，AB ⊥BC .(1)设平面ACE ∩平面DEF ＝a ，求证：DF ∥a ；(2)若EF ＝CF ＝2BC ，试问在线段BE 上是否存在点G ，使得平面DFG ⊥平面CDE ？若存在请确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．(2)线段BE 上存在点G ，且BG ＝13BE ，使得平面DF G ⊥平面CDE . 证明如下：如图所示，取CE 的中点O ，连接F O 并延长交BE 于点G ，连接GD ，因为CF ＝EF ，所以GF ⊥CE .在三棱台ABC ­DEF 中，AB ⊥BC ⇒DE ⊥EF ，由CF ⊥平面DEF ⇒CF ⊥DE ，又CF ∩EF ＝F ，所以DE ⊥平面CBEF ，所以DE ⊥GF .⎭⎪⎫GF ⊥CE GF ⊥DE CE ∩DE ＝E ⇒GF ⊥平面CDE ，又GF ⊂平面DF G ，所以平面DF G ⊥平面CDE ，此时，侧面BCF E 的平面图如图所示，延长F G ，交CB 的延长线于点H ，因为O 是CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识可证得△HOC ≌△F OE ，所以HB ＝BC ＝12EF ， 由△HGB ∽△F GE ，可知BG GE ＝12， 即BG ＝13BE . 12.如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1，点D ，E 分别为BC ，CC 1的中点．(1)求证：B 1D ⊥平面ABE ；(2)若点P 是线段B 1D 上一点且满足B 1P PD ＝12，求证：A 1P ∥平面ADE .解析：(1)在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，AB ⊂面ABC ，所以BB 1⊥AB ，因为∠ABC ＝90°，所以BC ⊥AB ，又BC ∩BB 1＝B ，所以AB ⊥面BCC 1B 1，因为DB 1⊂面BCC 1B 1，所以AB ⊥DB 1，因为在平面BCC 1B 1中，BC ＝BB 1，所以四边形BCC 1B 1为正方形，因为点D ，E 分别为BC ，CC 1的中点，所以△BCE ∽△B 1BD ，所以∠CBE ＝∠BB 1D ，所以∠CBE ＋∠B 1DB ＝π2，即B 1D ⊥BE ，又因为BA ∩BE ＝B ，所以B 1D ⊥面ABE .。