E
§5-1 刚体的运动
Motions of a Rigid Body
E
1.刚体运动的分类
平动——刚体上任何两点的连线始终保持平行的运动。
平动时所有质元 的运动完全相同，可 用刚体的质心的运动 代替整个刚体的运动。 质心服从质心运动定 理。
E
定轴转动——刚体上所有质元都绕同一条固定直线做圆
周运动；且各质元的角速度相同。 转轴
（1）求角加速度α和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；
（2）求制动开始后t=25 s时飞轮的角速度；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25s时边缘上一点的速度和 加速度。
解 （1）设初角度为0，方向如 图所示，量值为
0=21500/60=50 rad/s，对于 匀变速转动，可以应用以角量表
示的运动方程，在t=50 s时刻
0 t 50 25rad / s 25rad / s 78.5rad / s
的方向与 0相同 ；
E
（3）t=25 s 时飞轮边缘上一点P的速度 可由
v
r
求得。所以
v
v
r sin
r sin 900
r
78.5m / s
v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如图所示
相应的切向加速度和向心加速度分别为
at r 3.14m / s2
an r 2 6.16 10 3 m / s2
E
边向缘相上反，该点a的n 的加方速向度指a向轮a心n ，aat
其中 at 的方向与
的大小为
v
的方
a at2 an2 (6.16 103 )2 3.142 m / s2
6.16 103 m / s2
a的方向几乎和
转轴的转动惯量
d
C mO
J JC md 2
J Jc
E
证明：
rciC
d
ri
O
mi
J
miri2
miri ri
mi (rci d) (rci d)
mirc2i
mid 2 2
mirci d
JC md2 2
mirci d
E
例1 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒，求
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2
2 0
2 (
0)
E
例 一飞轮在时间t内转过角度＝at+bt3-ct4，式中a、 b、c都是常量。求它的角加速度。
解：飞轮上某点角位置可用表示为 ＝at+bt3-ct4将此式 对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为
第五章 刚体的定轴转动
Rotation about a Fixed Axis of a Rigid Body
E
本章主要内容
§5-1 刚体的运动 §5-2 刚体定轴转动定律 §5-3 转动惯量的计算 §5-4 刚体定轴转动定律的应用 §5-5 转动中的功和能 §5-6 对定轴的角动量守恒 §5-7 进动
i
i
E
（2）质量连续分布 J r 2dm
m
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm dS
：质量面密度
对质量体分布的刚体：dm dV
：质量体密度
E
（3）平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动
惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
an
相同
0
O
an r
a
at
v
E
§5-2 刚体的角动量和转动惯量
Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis
E
角动量：
Li
riR
pi
ri
pi
riz
pi
Liz ri pi
Liz
Liz ri pi mirivi miri2
陀螺旋进
定点转动——刚体上的只有一点始终保持不动。
E
平面平行运动——刚体上所有质元都限定在平面里运
动。
平面平行运动 = 质心运动 +质心系中定轴转动 绕过质心垂直于平面的定轴
E
+ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
E
２.描述刚体转动的角量
角速度——刚体上任一质元圆周运动的角速度。
角加速度——刚体上任一质元圆周运动的角加速度。
pi
z
Li
O
ri
riR
riz
轴向总角动量：
OR
Lz i Liz i miri2
对于Z轴的转动惯量
E
意义：转动惯量是对刚体转动时惯性大小的量度。
特性：（1）与质量有关。
（2）与质量对轴的分布有关。 J
mi ri 2
i
（3）与转轴的位置有关。
计算：（1）质点系 J miri2 mi (xi2 yi2 )
=0 ，代入方程= 0+ α t得
0
O
an r
a
at
v
E
0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为
0
0t
1 2
at 2
50
50
1 2
50 2
1250 rad
N 时飞轮的角速度
E
第五章 刚体的定轴转动
任何物体可以视为质点系。刚体是一种特殊的质点系， 是不同于质点的一种理想模型。
刚体——在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物
体 .（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）。
分割刚体得到的可当作质点考虑的物块称为质元。刚体
上任意两质元的距离在任何情况下不变。 质元的运动服从质点的运动规律。 刚体上各质元的相对位置和运动是有相互联系的。
d (at bt 3 ct 4 ) a 3bt 2 4ct 3
dt
角加速度是角速度对t的导数，因此得
a d d (a 3bt 2 4ct 3 ) 6bt 12ct 2
dt dt
由此可见飞轮作的是变加速转动。
E
例题 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减速，经 t=50 s后静止。
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为
处的质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
J 2 l /2 r 2dr 1 l3
d ——角位移
dt
d
dt
d 2
dt 2
角量与线量的关系：
z
Ori
mi
rj
m j
v r
at r, an r 2
E
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at