《物理学》多媒体学习辅导系统第三章 刚体得定轴转动教学要求一.理解定轴转动刚体运动得角速度与角加速度得概念,理解角量与线量得关系。

二.理解刚体定轴转动定律,能解简单得定轴转动问题。

三.了解力矩得功与转动动能得概念。

四.了解刚体对定轴得角动量定理及角动量守恒定律。

五.理解转动惯量得概念,能用平行轴定理与转动惯量得可加性计算刚体对定轴得转动惯量。

基本内容本章得重点就是刚体定轴转动得力矩、转动惯量、角动量等物理量得概念与转动定律,难点就是刚体绕定轴转动得角动量守恒定律及其应用。

一.角量与线量得关系2ωαωθr a r a r v r s ====n t二.描述刚体定轴转动得物理量与运动规律与描述质点直线运动得物理量与运动规律有类比关系,有关得数学方程完全相同, 为便于比较与记忆,列表如下。

只要将我们熟习得质点直线运动得公式中得x 、v 、a 与m 、F 换成θ、ω、α与I 、M , 就成为刚体定轴转动得公式。

表3—1质点得直线运动 刚体定轴转动位置 x 角位置 θ 位移 x ∆ 角位移 θ∆ 速度 t x v d d =角速度 td d θω= 加速度 22d d d d txt v a == 角加速度 2t t d d d d 2θωα==匀速直线运动 vt x x +=0 匀角速转动 t 0ωθθ+= 20021at t v x x ++= 20021t t++ =αωθθ ()02022x x a v v -=- ()0202 2 θθαωω-=-质量 m 转动惯量 i i m r I ∆=∑2力 F 力矩r F M θ=牛顿第二定律 ma F = 定轴转动定律 αI M = 力得功 ⎰=xx x F A 0d 力矩得功 ⎰=θθθ0d M A动能 221mv E =k 动能 k 221ωI E = 动能定理202210mv mv x F xx 21d -=⎰ 动能定理 2022121d ωωθθθI I M -=⎰20冲量⎰tt t F 0d 冲量矩⎰tt t M 0d动量 mv 角动量( 动量矩 ) ωI 动量定理00mv mv t F t t -=⎰d 角动量定理⎰-=tt I I t M 00d ωω系统得机械能守恒定律 系统得机械能守恒定律若0=+非保内外A A ,则 若0=+非保内外A A ,则=+p k E E 常量 =+p k E E 常量系统得动量守恒定律 系统得角动量守恒定律 若0=∑外F,则 若0=∑外M ,则 =∑ii vm 常量=∑iL常量三.对于质点、刚体组成得系统,动能定理仍然适用,系统得动能包括系统内所有质点得平动动能与刚体得转动动能。

当系统内力只有保守力作功,其外力与非保守内力作得总功为零,则整个系统机械能守恒。

问题讨论一.一长为l 、质量为m 得匀直细棒一端固定,可在竖直平面内转动,最初棒静止在水平位置,问放手后它下摆到竖直位置时得角速度。

有人这样解:放手后杆受重力矩2l mg M =, 细杆绕点O 得水平轴转动得转动惯量为231ml I =, 由转动定律αI M =,解得l g 23=α;又根据θαωω∆=-2202,00=ω,2πθ=∆得lg23πω=。

这种解法对吗？为什么？ 讨论:上述计算方法就是错误得! 其根源在于忽视了转动定律得瞬时性。

刚放手时重力矩2lmgM =,角加速度lg 23=α,但随着杆得转动,重力矩越来越小,在θ处,为θcos l mg M 21=;角加速度也随之减小,在θ处,为θαcos lg23=。

到竖直位置,0=M ,0=α。

也就就是说,在杆转动过程中,角加速度就是变量,杆得摆动就是变加速运动,不可用匀变速转动得公式θαωω∆=-2202。

此题得解法有多种,我们介绍两种从功与能得角度求解得方法。

解法一:用动能定理杆摆到任一θ角时,其所受得重力矩为θcos 2lmg M =杆从水平位置转到竖直位置时,重力对杆所作得功为222l mg l mg M A A ====⎰⎰⎰θθθπd cos d d由刚体得动能定理k E A ∆=20221212ωωI I l mg -=式中00=ω,231ml I = 解得lgI mgl 3==ω 解法二: 用机械能守恒求解取杆与地球为系统,除重力外无其它力作功,机械能守恒。

取竖直位置时杆得质心位置为重力势能零点,有)(200212l mg I --=-ω 式中231ml I =解得lgI mgl 3==ω 二.如图,一质量为m '得黏土块以水平速度0v 甩向长为l 质量为m 得杆得末端,并粘在杆端。

求系统获得得角速度。

有人这样解:取黏土块与杆为系统,碰撞中水平方向动量守恒,有v m m v m )(+'='0,解得)(m m v m v +''=0,lm m v m l v )(+''==0ω。

这样解对吗？为什么？讨论:上述计算方法就是错误得! 其根源在于没有认真分析守恒定律成立得条件。

在黏土块甩在杆上瞬时,杆得上端受到一个很大得力,这个力对黏土块与杆组成得系统而言就是外力,其水平分量亦不可忽略,故水平方向动量不守恒。

但这个力通过转轴,其力矩为零,且系统得重力矩也为零,即系统得合外力矩为零,角动量守恒。

黏土块开始与杆碰撞得瞬时,系统得角动量仅为黏土块对转轴得角动量,其2l m I '=,lv 00=ω, l v m L 00'=碰撞结束时,系统得角动量为 ω)(2231ml l m L +'= 由碰撞过程中角动量守恒ω2031l m m l v m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+'='解得lm m v m )(+''=330ω典型例题例一 如图,质量kg 10=m 、半径cm 10=r 得定滑轮两边挂着质量分别为kg 101=m 与kg 52=m 得滑块,滑块2m 在倾角30=θ得斜面上滑动,它们之间得摩擦系数为300.=μ。

设滑轮与转轴间无摩擦,绳与轮间无相对滑动,求滑块得加速度与绳中张力得大小。

解:这就是一个质点、刚体组成得系统,需隔离物体,分析各物体所受力(力矩)。

作受力分析图,由牛顿第二定律与转动定律立出动力学111a m F g m =-T1 (1)222a m g m F F =--θsin r T2(2)αI r F r F ='-'T2T1(3)221mr I = (4)αr a a a ===21 (5) θμcos r g m F 2= (6)1T1TF F '= (7) 2T2TF F '= (8) 解得()22122104331021-⋅==++--=s m ..sin cos g g mm m m m m a θθμ()() N 66769011T1..==-=g m a g m F()N 4520712222T2..sin cos ==++=g m a m g m g m F θθμ例二 如图, 均匀细杆可绕距其一端l 41(l 为杆长)得水平轴o 在竖直平面内转动,杆得质量为m 、当杆自由悬挂时,给它一个起始角速度0ω,如杆恰能持续转动而不摆动(不计一切摩擦),则0ω必须如何取值？ 杆处于水平位置时角速度角与加速度为多少？解: 由平行轴定理 ,杆绕水平轴得转动惯量为2222487161121ml l m ml md I I c =+=+= 杆与地球组成得系统在转动过程中机械能守恒。

要使杆恰能持续转动而不摆动,杆转过180时0≥ω,此时杆得势能增加为2l mg E P =∆动能增加为2022121ωωI I E k -=∆ 由P k E E ∆-=∆解得lg74820+=ωω 由0≥ω得lgl g 7347480=≥ω 杆处于水平位置时势能增加为4l mg E P =∆动能变化2022121ωωI I E k -=∆ 由P k E E ∆-=∆解得lg72420-=ωω杆处于水平位置时重力矩为4lmg M =由转动定律 αI M =l g ml lmg I M 71248742=⨯==α 过关测试第一关1. 选出下述说法中得正确者。

A.公式ωr v =中, v 就是速率。

因为 v 只能取正值,所以ω也只能取正值; B.法向加速度n a 恒大于零, 切向加速度t a 也恒大于零;C. 对定轴转动刚体而言,刚体上一点得线速度v 、切向加速度t a 、法向加速度n a 得大小都与该质点距轴得距离r 成正比;D. 因rv a 2n =,所以,上面( C ) 中关于法向加速度得叙述不正确。

答: C2.在下列说法中,错误得就是:A.刚体作定轴转动时,其上各点得角速度相同,线速度则不同;B.刚体定轴转动得转动定律为αI M =,式中M 、I 、α均为对同一条固定轴而言得,否则该式不成立;C.刚体得转动动能等于刚体上各质元得动能之与;D.对给定得刚体而言,它得质量与形状就是一定得,则其转动惯量也就是唯一确定得。

答: D3. 细棒可绕光滑轴转动,该轴垂直地通过棒得一个端点,今使棒从水平位置开始下摆,在棒转到竖直位置得过程中,下述说法正确得就是A.角速度从小到大,角加速度从大到小;B.角速度从小到大,角加速度从小到大;C.角速度从大到小,角加速度从小到大;D.角速度从大到小,角加速度从大到小。

答:正确答案就是A4.几个力同时作用于一个具有固定转轴得刚体上。

如果这几个力得矢量与为零,则正确答案就是A.刚体必然不会转动;B.转速必然不变;C.转速必然会变;D.转速可能变, 也可能不变。

答:正确答案就是D5.如图所示,四个质量相同、线度相同而形状不同得均质物体,它们对各自得几何对称轴得转动惯量最大得与最小得就是A.(1)与(2);B.(1)与(4);C.(2)与(3);D.(2)与(4)。

答: B6.一质点作匀速率圆周运动时A.它得动量不变,对圆心得角动量也不变;B.它得动量不变,对圆心得角动量不断改变;C.它得动量不断改变,对圆心得角动量不变;D.它得动量不断改变,对圆心得角动量也不断改变。

答: C第二关1.刚体绕定轴作匀变速转动时,刚体上距转轴为r得任一点得A.切向、法向加速度得大小均随时间变化;B.切向、法向加速度得大小均保持恒定;C.切向加速度得大小恒定,法向加速度得大小变化;D.切向加速度得大小变化,法向加速度得大小恒定。

答: C2.两个匀质圆盘A 与B 得密度分别为A ρ与B ρ,且B A ρρ>,但两圆盘质量与厚度相同。

如两盘对通过盘心垂直于盘面得轴得转动惯量分别为A I 与B I ,则 A.B A I I >; B.A B I I >; C.B A I I =; D.不能确定。