三、高斯定理(Gauss theorem )
高斯简介 高斯（Carl Friedrich Gauss 1777~1855）
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、 天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就： (1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和 摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时 间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。 (2)光学 ：利用几何学知识研究光学系统近 轴光线行为和成像，建立高斯光学。 (3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的 德国数学家、 计算，地球大小和形状的理论研究等。 天文学家和物理 (4)试验数据处理：结合试验数据的测算，发 学家。高斯在数 展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘 学上的建树颇丰， 法，引入高斯误差曲线。 有“数学王子” (5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。 15 美称。
i内 i内
e
• 闭合曲面上各点的场强 E 是闭合面内、外全部电荷共同
q
i内
产生的合场强，而非仅由闭合面内电荷所产生。
E 表面
q
i内

q
i外
• 闭合面外的电荷对总通量无贡献。 • 高斯定理适用于静电场和运动电荷的电场，是电磁场基 本规律之一。 • 静电场是有源场。电力线起始于正电荷，终止于负电荷 。
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面，圆柱壳等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分 布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布 （常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求： ①待求场强的场点应在此高斯面上， ②穿过该高斯面的电通量容易计算。 一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直，n与 E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外 面； 3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高 斯定理求出场强。
2
E
q
n
dS dSn
1 q
2
dS E
4 0 R
dS
q
e
=

S
d e
2

q
S
4π ε0 R
q ε0
2
dS
+
r
q 4π ε0 R
S dS =
结果表明，穿过此球面的电通量与球半径无关，只 与q和ε0有关.通过各球面的电场线总条数相等。
高斯定理的应用
例1. 求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的 空间分布。 解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面. 2 q S E dS E 4r 0
E
q
40 r
2
rR时，高斯面无电荷，
E ＝0
+ + + +
+
+ +
R
q
S
S
电场线
S'
q
+
r
S
③不包围点电荷q的任意闭合曲面S的电通 量恒为零．
S
由于电场线的连续性可知， 穿入与穿出任一闭合曲面 的电通量应该相等。所以 当闭合曲面无电荷时，电 通量为零。
q
( 4 ) 若由许多点电荷组成系 个点电荷， 加原理，得 n 个点电荷在闭合曲面
统，闭合曲面
S 包围 k
三、静电场的高斯定理 (Electrostatic field of the Gauss theorem) 四、高斯定理的应用 (The application of the Gauss theorem) 小结
6-3 电场线 高斯定理
一、电场线 (The electric field lines)
Φe 2 0
Φe 3 q
0
S1
S2
S3
23
四、高斯定理的应用（ The application of the Gauss theorem ）
当场强分布具有某种特殊的对称性时，应用高斯定理能比 较方便求出场强。求解的关键是选取适当的高斯面。常见的 具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布：包 括均匀带电的球 面，球体和多层 同心球壳等
复 习
• • • • • • • 电荷的量子化 电荷守恒定律 库仑定律 静电场的概念 电场强度 电场强度叠加原理 电场强度的计算
§ 6-3 电场线 高斯定理(The electric field lines Gauss theorem )
一、电场线 (The electric field lines) 二、电通量 (electric flux)
对于包围点电荷q的任意封闭曲面 可在外或内作一以点电荷为中 心的同心球面 S ,使 S 内只有点 电荷，如图所示。 由电场线的连续性可知，穿 过 S的电场线都穿过同心球 面 S ，故两者的电通量相等， 均为 q ε 0 。 结论说明，单个点电荷包围 在任意闭合曲面内时，穿过 该闭曲面的电通量与该点电 荷在闭曲面内的位置无关。
由前面的结果得
e
k

E dS
S

k
qi
i 1
0
0
1
0
q
i 1
k
i
式中
q 表示在闭合曲面内电荷
i i 1
电量的代数和。
如果在真空中场源是若干个点电荷，则穿过任 一闭合曲面的总电通量等于该闭合曲面包围的电荷 电量的代数和（净电荷）的 1 0 倍。 ——真空中 的高斯定理
讨论
将 q 2 从 A 移到 B
q2
A
点 P 电场强度是否变化？ 穿过高斯面
P*
s 的 Φ 有否变化？
e
q2
s
B
q1
在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三 个闭合面 S 1 , S 2 , S 3 , 求通过各闭合面的电通量 . q Φe 1 E d S q q S1 0
+
r
+
+
+ + + +
q
+ +
高斯定理的应用
rR时，高斯面包围电荷q，
E＝ Q 4 0 r
2
结果表明：均匀带电 球面外的电场分布象 球面上的电荷都集中 在球心时所形成的点 电荷在该区的电场分 布一样。
+ R + + + + +
q 40 R
2
+
+ +
+
q
+ + E
+ + + +
r
r
2
d e E dS
e
E
en
dS

E
Φe
dΦ

Φe
将曲面分割为无限多个面元 d S,由于面元很小，
s
E dS
s E cos d S
所以每一个面元上场强可以认为是均匀电场 。
12
2、电通量的正负
d Φ e E co s d S
数学表达式： e

1 E dS
S
0
q
i 1
n
i内
电荷连续分布：

1 E dS
S
0

dV
V
3、关于高斯定理的说明（ Instructions on the Gauss theorem ）
• 表明通过闭合曲面的 e 与闭合曲面所包围的 q 之间 的量值关系，而非闭合曲面上的 E 与 q 之间的关系。
E
2
dS1
整个闭合曲面的电通量为
e = E d S
S
E2
1
E1
13
例: 求通过一个与点电荷q 同心的球面S的电通量
解:球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。
4 0 R d e E dS E dS
高斯定理的应用
3. 高斯定理的应用举例 (Examples of
the application of the Gauss theorem)
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性 1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电球体的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场
4.均匀带电无限长直线的电场
5. 均匀带电无限长圆柱面的电场 6. 均匀带电球体空腔部分的电场
+
+
7
2、几种典型的电场线分布(Several typical electric field line distribution)
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
8
2、几种典型的电场线分布(Several typical electric field line distribution)
带电平行板电容器的电场线
0

R
Er 关系曲线
r
高斯定理的应用
例2、求半径为R,带电量为q的均匀带电球体的场 强分布。 解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。 q 电荷体密度为 4 3
R
3
作同心且半径为r的高斯面

S
2 E dS E 4 r
q
0
3
r
R
E
q
4 0 r
•非闭合曲面: 电通量的结果可正可负，完全取决 于面元 d S 与 E 间的夹角 :

2 时 , d e 0,