(2) 若q 位于任意曲面S 内； (3) q位于任意闭合曲面S 以外。
第五章 真空中的静电场
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
(1)点电荷位于球面中心
q E 4πε0R2
dΦe E d S

Φe
EdS
S
q d S 4 πε0 R2 S
dS
+ q
R
物理学
既然电场是由电荷所激发的，那么，通过电
场空间某一给定闭合曲面的电场强度通量与激发
电场的场源电荷必有确定的关系。高斯通过缜密
运算论证了这个关系,这就是著名的高斯定理。
下面以点电荷为例，得出相关结论，而后导出 高斯定理。
例 求下列情况中通过曲面S、S及 S的电场强
度通量：
(1) 点电荷+q位于半径为r 的球面S 的球心处 ；
3. 在均匀电场
E
3i
2
j中，过
yoz
平面内
面积为S的电通量。 E
y

E
R
O
S
O
x
S1 S2 0
S1 (E π R2 ) 0 S1 E π R2
Z E S
(3i 2 j) Si
3S
第五章 真空中的静电场
17
大学
2 电场强度通量
作通电过场该中曲通面过的任电一场曲强面度的通电量场，线的简的称条E数通，量称。
用符号Φ表e 示.
匀强电场，
垂E直平面时.
(en
//
E)
SS
Φe ES
第五章 真空中的静电场
Een E
10
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
匀强电场，E与
e成n 夹角
。θ
(2) 疏密表示电场强度的大小
垂直于电场线的单位面积上电场线条数等于 该点的电场强度的大小。
第五章 真空中的静电场
2
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
典型电场的电场线分布图形
正点电荷与负点电荷的电场线 一对等量正点电荷的电场线 一对等量异号点电荷的电场线 一对不等量异号点电荷的电场线 带电平行板电容器的电场线
q 通过球面的电场强度通量等于球面 ε0 所包围的电荷除以真空电容率。
第五章 真空中的静电场
20
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
(2)点电荷在闭合曲面内
S
将包围点电荷q的球面
S
换成任意闭合曲面
+
显然，穿过闭合曲
q
面 和S穿 过球面 的电S
力线条数相等。

Φe
EdS
S
q 通过任意闭合曲面的电场强度通
s1
E dS ES1 cos π ES1
Φe2 s1 E dS ES2 cosθ ES1
5
Φe Φei 0
y
P N
S2
en
E
i 1
S1

en
o
R
x
zM
en Q
第五章 真空中的静电场
16
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
2. 求均匀电场中一半球面的电通量。
ε0
量等于闭合曲面所包围的电荷除 以真空电容率。
5.3 真空中静电场的高斯定理
1. 三棱柱体放置在如图所示的匀强电场中.求通 过此三棱柱体的电场强度通量.
解
5
Φe Φei i 1
Φe1 Φe2
y
P N
en S1 o
zM
en
E
S2
R
en Q
x
第五章 真空中的静电场
15
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学

Φe1
（1）电场线总是起始于正电荷，终止于负电荷，电 场线不会形成闭合线。
（2）在没有电荷的地方电场线不中断，任意两条 电场线不会相交。
（3）电场线密集的地方，电场强度较大；电场 线疏稀的地方，电场强度较小。
电场线的这些性质反映了静电场的特征。
第五章 真空中的静电场
9
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
第五章 真空中的静电场
3
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
第五章 真空中的静电场
4
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
一对等量正点电荷的电场线
+
+
第五章 真空中的静电场
5

大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
第五章 真空中的静电场
13
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
➢ 闭合曲面 规定面元的法向单位矢量取向外为正。
电场线穿出，电通量为正，反之则为负。

Φe
E dS
S

E cosθdS
S
“穿出”θ 90

θ en
E
“穿进”θ 90
E
θ
en
S
第五章 真空中的静电场
14
大学 物理学
练习
6
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
一对不等量异号点电荷的电场线
+ 2q
q-
第五章 真空中的静电场
7
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
带电平行板电容器的电场线 ++++++++++++
------------
第五章 真空中的静电场
8
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
电场线性质
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
二、高斯定理
高斯 (C.F.Gauss 17771855）
德国数学家、天文学家和 物理学家，有“数学王子” 美称，他与韦伯制成了第一 台有线电报机和建立了地磁 观测台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
第五章 真空中的静电场
18
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
en
θ
E
电场穿过某曲面
dS
的电通量为

S
Φe
E dS
S
第五章 真空中的静电场
12
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
非匀强电场，通过任意闭合
曲面S的电场强度通量.
v

S
E
Φe
E dS
S
说明
➢ 不闭合曲面
面元的法向单位矢量可有两种相反取向，电通 量可正也可负；
第五章 真空中的静电场
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
一、电场线 电场强度通量
1 电场线
为了形象直观地描述电场强度在空间的分布，在
电场中画一系列曲线，这些曲线称为电场线。


EB •
EC
EA • B C
•A
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1
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
电场线规定
(1) 电场线上各点的切线方向表示该点场强的 方向；
S
Sθ
θ
en
E
Φe

ES
cos
θ
ES
第五章 真空中的静电场
11
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
非匀强电场，通过任意曲面S的电场强度通量.
将曲面分割为无限多个面元，称为面积元矢量。
dS
dS

en
电场穿过该面元 的电通量为
dΦe E cosθdS E dS