回归直线方程
随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭 轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限 的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常 关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出 某款车的使用年限x与所支出的总费用y(万元)有如下的数据资 料：
使用年限x 2 3 4 5 6 总费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料，知y对x呈线性相关关系．试求： (1)线性回归方程^y＝b^ x＋a^的回归系数a^、b^ ； (2)估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？
上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、 回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程 中，要重视信息技术的应用．
●自我检测
1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系
的是( )
A．瑞雪兆丰年
B．上梁不正下梁歪
C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
[答案] D
[解析] 选项A，B，C中描述的变量间都具有相关关
2．线性相关
(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上 看大致在一条__直__线___附近，我们就称这两个变量之 间具有线性相关关系，这条直线叫做___回__归_直__线___．
(2)最小二乘法：求线性回归直线方程
^y
＝
^
b
x＋
a^
时，使得
样本数据的点到它的___距__离__的__平__方__和_最小的方法叫做最小二乘
规律总结：求回归直线方程的一般步骤：
①收集样本数据，设为(xi，yi)，(i＝1,2，…，n)(数据
一般由题目给出)．
②作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．
③把数据制成表格xi，yi，x2i ，xiyi.
n
n
④计算 x ， y ，x2i ，xiyi，
i＝1
i＝1
n xiyi－n－x－y
⑤代入公式计算b^ ，a^，公式为b^ ＝i＝n1 xi2－n－x2 ，
[错解] (1)根据表中数据画散点图，如图所示，从图可以 看出，虽然后5个点大致分布在一条直线的附近，但第一个点 离这条直线太远，所以这两个变量不具有线性相关关系．
(2)将x＝12代入 ^y ＝23.25x＋102.15，得 ^y ＝23. 25×12＋ 102.15＝381.15>380.所以上述断言是正确的．
x2i
4
9
16
25
36
－x ＝4，－y ＝5，
5
x2i ＝90，
5
xiyi＝112.3
i＝1
i＝1
于是b^ ＝1129.03－－55××442×5＝1120.3＝1.23； a^＝－y －b－x ＝5－1.23×4＝0.08.
(2)线性回归直线方程是 ^y ＝1.23x＋0.08，当x＝10(年)时， ^y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时，支出总 费用是12.38万元．
[错因分析] 在第(1)问中，是否具有线性相关关系，
要看大部分点、主流点是否分布在一条直线附近，个 别点是不影响“大局的”，所以可断定这两个变量具 有线性相关关系．在第(2)问中，381.15只是一个估
i＝1
a^＝
y
－b^ －x.
⑥写出回归直线方程^y＝b^ x＋a^.
(1)(2013～2014·石家庄高二检测)已知回归直线的斜率的
估计值是1.23，样本点中心(即( x ， y ))为(4,5)，则回归直线的
方程是( )
A．^y＝1.23x＋4
B．^y＝1.23x＋5
C．^y＝1.23x＋0.08
＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.
新知导学
1．相关关系
(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时， 另一个变量的取值带有一定的____随__机__性，那么这两 个变量之间的关系，叫做相关关系．
(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是 从___左__下___角到___右__上___角的区域，那么这两个变量 的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从 __左__上___角到___右__下__角的区域，那么这两个变量的相 关关系称为负相关．
(2) x ＝2＋4＋55＋6＋8＝5， y ＝30＋40＋650＋50＋70＝50. 因为回归方程过样本中心(5,50)， 代入^y＝6.5x＋a^，得a^＝17.5， 所以^y＝6.5x＋17.5， 当^y＝115时，x＝15.
●误区警示
有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国
民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童年数
i＝1
i＝1
a^＝－y －b^ －x ，
来计算回归
系数．有时为了方便常列表，对应列出 xiyi、x2i ，以利于求和．(2) 获得线性回归方程后，取 x＝10，即得所求．
[解析] (1)列表：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2 3.8
5.5
6.5
7.0
xiyi
4.4 11.4 22.0 32.5 42.0
[答案] (1)C (2)15
[解析] (1)由题意知，可设此回归直线的方程为 ^y ＝1.23x ＋ a^ ，又因为回归直线必过点( x ， y )，所以点(4,5)在直线 ^y ＝ 1.23x＋a^上，
所以5＝1.23×4＋a^，a^＝0.08， 故回归直线的方程是^y＝1.23x＋0.08.
变量之间的相关关系及两个变量的线性相关
●课标展示 1．了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘
法的定义． 2．会作散点图，能判断两个变量之间是否具有相关
关系． 3．会求回归直线方程，并能用回归直线方程解决有
关问题．
●温故知新
旧知再现
1．下列数字特征一定是样本数据中的数据是( )
A．众数
(2)两次数学考试成绩散点图如图所示，
由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线 的周围，具有正相关关系．因此，这10名学生的两 次数学考试成绩具有相关关系．
[答案] (1)A
规律总结：两个变量x与y相关关系的判断方法：
(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在 一定规律，直观地判断；如果发现点的分布从整体上 看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相 关的，注意不要受个别点的位置的影响．
[归纳总结] 两个变量间的关系分为三类：一类是确
定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另 一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所 要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关 系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与 “数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系； 再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．
[答案] 70 50
[解析] 因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不
变，设更正后的方差为s2，则由题意可得
s2＝
1 48
[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2
＋…＋(x48－70)2]，而更正前有
75＝
1 48
[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2
D．^y＝0.08x＋1.23
(2)某公司的广告费支出 x(单位：万元)与销售额 x(单位：万
元)之间有下列对应数据：
x2
4
5
6
8
y 30 40 60 50 70 资料显示 y 对 x 呈线性相关关系．
根据上表提供的数据得到回归方程^y＝b^x＋a^中的b^＝6.5，预
测销售额为 115 万元时约需________万元广告费．
法，其中a，b的值由以下公式给出：
n
xi－－x yi－－y
n
xiyi－n
－x
－y
b^ ＝i＝1
n
xi－－x 2
i＝1
＝
n
xi2－n
－x 2
i＝1
i＝1
a^＝ －y －b^ －x ，
其中，b^ 是回归方程的__斜__率_____，a^是回归方程在y轴上的 __截__距_____．
[破疑点] 线性回归分析涉及大量的计算，形成操作
系，而选项D是迷信说法，没有科学依据．
规律总结：函数关系是一种确定性关系，相关
关系是一种非确定性关系，判断两个变量间的关系是
否为相关关系的关键是看这个关系是否具有不确定
性．
2．观察下列散点图，①正相关，②负相关，③不相 关，与下列图形相对应的是( )
A．①②③ C．②①③ [答案] D
B．②③① D．①③②
判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关
[答案] C
[解析] 图(1)中的数据y随着x的增大而减小，因此变 量x与变量y负相关；图(2)中的数据随着u的增大，v 也增大，因此u与v正相关．
3．下列有关回归方程^y＝b^x＋a^的叙述正确的是( )
①反映^y与x之间的函数关系；
②反映y与x之间的函数关系；
③表示^y与x之间的不确定关系；
④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线．
A．①②
B．②③
C．③④
[答案] D
D．①④
[解析]
^y
＝
^
b
x＋
a^
表示
^y
与x之间的函数关系，而不是y与x
之间的函数关系．但它所反映的关系最接近y与x之间的真实关
系．故选D.
规律总结：回归直线是对原数量关系的一种拟