i＝ 1
x ＝3＋4＋4 5＋6＝4.5，
y
＝2.5＋ 3＋ 4＋ 4
4.5＝ 3.5，
4
x2i ＝32＋42＋52＋62＝86.
i＝ 1
∴b＝66.58－6－4×4×4.45.×52 3.5＝6866.5－－8613＝0.7，
a＝ y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
故线性回归方程为^y ＝0.7x＋0.35. (3)根据回归方程预测现在生产 100 吨产品消耗 的标准煤的数量为 0.7×100＋0.35＝70.35(吨)， 故生产能耗减少了 90－70.35＝19.65(吨)．
失误防范 1．利用散点图判定两个变量是否具有线性相 关关系，注意不要受个别点的位置的影响． 2．求回归直线方程，关键在于正确地求出系 数a，b，由于a，b的计算量大，计算时要仔 细，避免计算失误．
^
4．回归直线方程y ＝bx＋a，其中
b 是回归方程的斜率，a 是截距．
5．最小二乘法
n
通过求 Q＝ yi－bxi－a2的最小值而得出回归
i＝1
直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点 到 它的距离 的平方和 最小，这 一方法 叫做 _最___小__二__乘__法____．
问题探究
1．如果样本的数据形成的点均匀分布于一个圆 内，数据之间还能线性相关吗？ 提示：不能，这样的点不具有线性相关关系． 2．画散点图时，坐标系中的横、纵坐标的长度 单位必须相同吗？ 提示：可以不同，应考虑数据分布的特征．
课堂互动讲练
考点突破
相关关系的判断
判断两个变量之间有无相关关系，一种常用 的简便可行的方法是绘制散点图，根据散点 图很容易看出两个变量之间是否具有相关关 系，是不是线性相关关系，是正相关还是负 相关，相关关系强还是弱．
例1 观察两相关变量得如下数据：
x －1 －2 －3 －4 －5 5 4 3 2 1 y －9 －7 －5 －3 －1 1 5 3 7 9
变量之间的相关关系 两个变量的线性相关
学习目标 1.了解相关关系的概念． 2.了解回归分析的概念、散点图及回归直线．
课前自主学案
两
个
变
量
的
线
性
相
关
课堂互动讲练
课前自主学案
温故夯基
1．样本的数字特征主要有_平__均__数__、_众__数____、 _中__位__数__、_方__差____及___标__准__差__． 2．在现实生活中两个变量之间的函数关系是一 种_确__定__的关系．
解：散点坐标分别为(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)． 可验证这四点共线，斜率 k＝34－ －23＝1， ∴直线方程为 y－2＝x－3，即 y＝x－1.
利用回归方程估计总体
利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线 方程为 y^＝bx＋a，则 x＝x0 处的估计值为：y^＝ bx0 ＋ a.
画出散点图，判断它们是否有线性相关关 系． 【思路点拨】 建系→描点→观察→结论．
【解】 由数据可得相应的散点图(如图所示)：
由散点图可知，两者之间不具有线性相关关 系．
【思维总结】 以x为自变量，考查因变量y的变 化趋势，从而作出判断．
求回归直线方程
据最小二乘法思想的公式，用待定系数法求 出a、b，从而确定回归直线方程．
(3)某家庭年消费支出为 80000 元，根据回归方程^y
＝0.6x－2800，可得 80000＝0.6x－2800，解得 x＝ 138000，即估计该家庭的年收入为 138000 元．
方法感悟
方法技巧
1．两个变量x和y相关关系的确定方法： (1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否 存在一定规律，直观地判断； (2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； (3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．(如 例1) 2．回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的 某种确定性．(如例3)
例3 2011年元旦前夕，某市统计局统计了该 市2010年10户家庭的年收入和年饮食支出的统 计资料如下表：
(1)如果已知 y 与 x 是线性相关的，求回归方程； (2)若某家庭年收入为 9 万元，预测其年饮食支 出．
10
10
(参考数据： xiyi＝117.7， x2i ＝406)
i＝1
i以 y 为纵坐标， 画散点图，并计算 x 及 y 的值，代入公式求方 程．并计算当 x＝9 时，y 的值．
知新益能
1．相关关系：与函数关系不同，相关关系是一 种_非__确__定____性关系． 2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角 的区域内，两个变量的这种相关关系称为正__相__关__； 点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量 的相关关系为__负__相__关_____．
3．从散点图上看，如果这些点从整体上看大 致分布在通过散点图中心的一条直线附近，我 们就称这两个变量之间具有_线__性__相__关__关__系___， 这条直线叫做__回__归__直__线___．
【解】 (1)散点图如图：
由散点图可知，年收入越高，年饮食支出 越高，图中点的趋势表明两个变量间也确 实存在着线性相关关系．
依题意可计算得： x ＝6， y ＝1.83， x 2＝36， x y ＝10.98，
10
又∵ xiyi＝117.7，
i＝ 1
10
x2i ＝406，
i＝ 1
10
xiyi－10 x y
解：(1)设年收入为 x 元，年支出为 y 元，由条件知 x ＝88000 元， y ＝50000 元，b＝0.6，则 a＝ y － b x ＝50000－0.6×88000＝－2800.故支出对于收 入的回归方程为^y ＝ 0.6x－ 2800.
(2)平均年收入每增加 100 元，平均年消费支出约增 加 60 元．
【思维总结】 求线性回归直线方程的步骤如
下：
(1)列表表示 xi，yi，xiyi；
n
n
(2)计算 x ， y ， x2i ，xiyi；
i＝ 1
i＝ 1
(3)代入公式计算 b，a 的值； (4)写出 线性回归直线方程．
互动探究1 如果把本题中的y的值：2.5及 4.5分别改为2和5，如何求回归直线方程．
【思路点拨】 (1)以产量为横坐标，以生产能 耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内 画 出散 点图； (2)应 用计算 公式 求得线 性相关 系 数 b、a 的值；(3)实际上就是求当 x＝100 时，
对应的^y的值．
【解】 (1)散点图如图所示：
(2)由题 意，得
4
xiyi＝ 3× 2.5＋ 4× 3＋ 5× 4＋ 6× 4.5＝ 66.5，
i＝ 1
∴ b＝
≈ 0.17，
10
x2i －10 x 2
i＝ 1
a＝ y －b x ＝0.81，
∴^y ＝ 0.17x＋ 0.81. ∴所求的回归方程 为^y ＝ 0.17x＋ 0.81.
(2)当 x＝9时，^y＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)． 可估计大多数年收入为 9 万元的家庭每年饮 食支出约为 2.34 万元．
变式训练2 某调查机构为了了解某地区的家庭 收入水平与消费支出的相关情况，抽查了多个家
庭，根据调查资料得到以下数据：每户平均年收 入为88000元，每户平均年消费支出为50000元， 支出对于收入的回归系数为0.6. (1)求支出对于收入的回归方程. (2)平均年收入每增加100元，则平均年消费支出 约增加多少元？ (3)若某家庭年消费支出为80000元，试估计该家 庭的年收入为多少元？
例2 下表提供了某厂节能降耗技术改造后 生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的 生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x
3
45
6
y 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y
关于 x 的线性回归方程^y ＝bx＋a； (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程， 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降 低了多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)